Atrisiniet left(x+1right)^2+left(x+2right)^2=x+12

$${ \left(x+1 \right) }^{ 2 } + { \left(x+2 \right) }^{ 2 } =x+12$$

Atrast x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=1$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1+\left(x+2\right)^{2}=x+12$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1+x^{2}+4x+4=x+12$$

Savelciet x^{2} un x^{2}, lai iegūtu 2x^{2}.

$$2x^{2}+2x+1+4x+4=x+12$$

Savelciet 2x un 4x, lai iegūtu 6x.

$$2x^{2}+6x+1+4=x+12$$

Saskaitiet 1 un 4, lai iegūtu 5.

$$2x^{2}+6x+5=x+12$$

Atņemiet x no abām pusēm.

$$2x^{2}+6x+5-x=12$$

Savelciet 6x un -x, lai iegūtu 5x.

$$2x^{2}+5x+5=12$$

Atņemiet 12 no abām pusēm.

$$2x^{2}+5x+5-12=0$$

Atņemiet 12 no 5, lai iegūtu -7.

$$2x^{2}+5x-7=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 2x^{2}+ax+bx-7. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=5 ab=2\left(-7\right)=-14$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir pozitīvs, pozitīvam skaitlim ir lielāks absolūtā vērtība nekā negatīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -14.

$$-1,14 -2,7$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1+14=13 -2+7=5$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 5.

$$a=-2 b=7$$

Pārrakstiet 2x^{2}+5x-7 kā \left(2x^{2}-2x\right)+\left(7x-7\right).

$$\left(2x^{2}-2x\right)+\left(7x-7\right)$$

Sadaliet 2x pirmo un 7 otrajā grupā.

$$2x\left(x-1\right)+7\left(x-1\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju x-1 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x-1\right)\left(2x+7\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-1=0 un 2x+7=0.

$$x=1 x=-\frac{7}{2}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1+\left(x+2\right)^{2}=x+12$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1+x^{2}+4x+4=x+12$$

Savelciet x^{2} un x^{2}, lai iegūtu 2x^{2}.

$$2x^{2}+2x+1+4x+4=x+12$$

Savelciet 2x un 4x, lai iegūtu 6x.

$$2x^{2}+6x+1+4=x+12$$

Saskaitiet 1 un 4, lai iegūtu 5.

$$2x^{2}+6x+5=x+12$$

Atņemiet x no abām pusēm.

$$2x^{2}+6x+5-x=12$$

Savelciet 6x un -x, lai iegūtu 5x.

$$2x^{2}+5x+5=12$$

Atņemiet 12 no abām pusēm.

$$2x^{2}+5x+5-12=0$$

Atņemiet 12 no 5, lai iegūtu -7.

$$2x^{2}+5x-7=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 2, b ar 5 un c ar -7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Kāpiniet 5 kvadrātā.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Reiziniet -4 reiz 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Reiziniet -8 reiz -7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+56}}{2\times 2}$$

Pieskaitiet 25 pie 56.

$$x=\frac{-5±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 81.

$$x=\frac{-5±9}{2\times 2}$$

Reiziniet 2 reiz 2.

$$x=\frac{-5±9}{4}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-5±9}{4}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -5 pie 9.

$$x=\frac{4}{4}$$

Daliet 4 ar 4.

$$x=1$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-5±9}{4}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 9 no -5.

$$x=-\frac{14}{4}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-14}{4} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=1 x=-\frac{7}{2}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1+\left(x+2\right)^{2}=x+12$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1+x^{2}+4x+4=x+12$$

Savelciet x^{2} un x^{2}, lai iegūtu 2x^{2}.

$$2x^{2}+2x+1+4x+4=x+12$$

Savelciet 2x un 4x, lai iegūtu 6x.

$$2x^{2}+6x+1+4=x+12$$

Saskaitiet 1 un 4, lai iegūtu 5.

$$2x^{2}+6x+5=x+12$$

Atņemiet x no abām pusēm.

$$2x^{2}+6x+5-x=12$$

Savelciet 6x un -x, lai iegūtu 5x.

$$2x^{2}+5x+5=12$$

Atņemiet 5 no abām pusēm.

$$2x^{2}+5x=12-5$$

Atņemiet 5 no 12, lai iegūtu 7.

$$2x^{2}+5x=7$$

Daliet abas puses ar 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{7}{2}$$

Dalīšana ar 2 atsauc reizināšanu ar 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{7}{2}$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{5}{2} ar 2, lai iegūtu \frac{5}{4}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{5}{4} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{5}{4}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{7}{2}+\frac{25}{16}$$

Pieskaitiet \frac{7}{2} pie \frac{25}{16}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{81}{16}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{9}{4}$$

Atņemiet \frac{5}{4} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=1 x=-\frac{7}{2}$$