Atrisiniet {l}{x-y=12}{x+y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 12 } \\ { x + y = 3 } \end{array} \right\}$$

Atrast x, y

$$x = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7,5$$

$$y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$x-y=12,x+y=3$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet x, izolējot x pa kreisi no vienādības zīmes.

$$x-y=12$$

Pieskaitiet y abās vienādojuma pusēs.

$$x=y+12$$

Ar y+12 aizvietojiet x otrā vienādojumā x+y=3.

$$y+12+y=3$$

Pieskaitiet y pie y.

$$2y+12=3$$

Atņemiet 12 no vienādojuma abām pusēm.

$$2y=-9$$

Daliet abas puses ar 2.

$$y=-\frac{9}{2}$$

Aizvietojiet y ar -\frac{9}{2} vienādojumā x=y+12. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x=-\frac{9}{2}+12$$

Pieskaitiet 12 pie -\frac{9}{2}.

$$x=\frac{15}{2}$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=\frac{15}{2},y=-\frac{9}{2}$$

Darbības, izmantojot matricas

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$x-y=12,x+y=3$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\3\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\3\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\3\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\3\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\3\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 12+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{2}\times 12+\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{2}\\-\frac{9}{2}\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus x un y.

$$x=\frac{15}{2},y=-\frac{9}{2}$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$x-y=12,x+y=3$$

Atņemiet x+y=3 no x-y=12 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$x-x-y-y=12-3$$

Pieskaitiet x pie -x. Locekļus x un -x saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$-y-y=12-3$$

Pieskaitiet -y pie -y.

$$-2y=12-3$$

Pieskaitiet 12 pie -3.

$$-2y=9$$

Daliet abas puses ar -2.

$$y=-\frac{9}{2}$$

Aizvietojiet y ar -\frac{9}{2} vienādojumā x+y=3. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x-\frac{9}{2}=3$$

Pieskaitiet \frac{9}{2} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{15}{2}$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=\frac{15}{2},y=-\frac{9}{2}$$