Atrisiniet ∫ (x+1)(2x+2)(x+1)

$$\int ( x + 1 ) ( 2 x + 2 ) ( x + 1 )$$

Izrēķināt

$$\frac{x^{4}}{2}+2x^{3}+3x^{2}+2x+С$$

Atrisinājuma darbības

Reiziniet x+1 un x+1, lai iegūtu \left(x+1\right)^{2}.

$$\int \left(x+1\right)^{2}\left(2x+2\right)\mathrm{d}x$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x+1\right)^{2}.

$$\int \left(x^{2}+2x+1\right)\left(2x+2\right)\mathrm{d}x$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, katru x^{2}+2x+1 locekli reizinot ar katru 2x+2 locekli.

$$\int 2x^{3}+2x^{2}+4x^{2}+4x+2x+2\mathrm{d}x$$

Savelciet 2x^{2} un 4x^{2}, lai iegūtu 6x^{2}.

$$\int 2x^{3}+6x^{2}+4x+2x+2\mathrm{d}x$$

Savelciet 4x un 2x, lai iegūtu 6x.

$$\int 2x^{3}+6x^{2}+6x+2\mathrm{d}x$$

Integrēt summu terminu pēc termina.

$$\int 2x^{3}\mathrm{d}x+\int 6x^{2}\mathrm{d}x+\int 6x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Iznest konstanti pirms iekavām katrā no terminiem.

$$2\int x^{3}\mathrm{d}x+6\int x^{2}\mathrm{d}x+6\int x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Tā kā \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 aizstāt \int x^{3}\mathrm{d}x ar \frac{x^{4}}{4}. Reiziniet 2 reiz \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{2}+6\int x^{2}\mathrm{d}x+6\int x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Tā kā \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 aizstāt \int x^{2}\mathrm{d}x ar \frac{x^{3}}{3}. Reiziniet 6 reiz \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{4}}{2}+2x^{3}+6\int x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Tā kā \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 aizstāt \int x\mathrm{d}x ar \frac{x^{2}}{2}. Reiziniet 6 reiz \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{4}}{2}+2x^{3}+3x^{2}+\int 2\mathrm{d}x$$

Atrast 2, kas izmanto kopējo integrāļi kārtulu tabulu \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{4}}{2}+2x^{3}+3x^{2}+2x$$

Ja F\left(x\right) ir f\left(x\right) nenoteiktais integrālis, tad f\left(x\right) visu to antiderivatives ir norādīts F\left(x\right)+C. Tāpēc, pievienojiet šim rezultātam C\in \mathrm{R} integrāciju.

$$3x^{2}+2x^{3}+\frac{x^{4}}{2}+2x+С$$

Diferencēt pēc x

$$2\left(x+1\right)^{3}$$