Atrisiniet 2/x+15/x+6=1

$$\frac { 2 } { x } + \frac { 15 } { x + 6 } = 1$$

Atrast x

$$x=-1$$

$$x=12$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Mainīgais x nevar būt vienāds ar jebkuru no vērtībām -6,0, jo dalīšana ar nulli nav definēta. Reiziniet abas vienādojuma puses ar x\left(x+6\right), kas ir mazākais x,x+6 skaitlis, kas dalās bez atlikuma.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu x+6 ar 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Savelciet 2x un x\times 15, lai iegūtu 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu x ar x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Atņemiet x^{2} no abām pusēm.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Atņemiet 6x no abām pusēm.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Savelciet 17x un -6x, lai iegūtu 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Pārkārtojiet polinomu, lai tas būtu standarta formā. Sakārtojiet locekļus secībā no lielākās līdz mazākajai pakāpei.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā -x^{2}+ax+bx+12. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=11 ab=-12=-12$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir pozitīvs, pozitīvam skaitlim ir lielāks absolūtā vērtība nekā negatīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 11.

$$a=12 b=-1$$

Pārrakstiet -x^{2}+11x+12 kā \left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right).

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right)$$

Sadaliet -x pirmo un -1 otrajā grupā.

$$-x\left(x-12\right)-\left(x-12\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju x-12 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x-12\right)\left(-x-1\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-12=0 un -x-1=0.

$$x=12 x=-1$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Mainīgais x nevar būt vienāds ar jebkuru no vērtībām -6,0, jo dalīšana ar nulli nav definēta. Reiziniet abas vienādojuma puses ar x\left(x+6\right), kas ir mazākais x,x+6 skaitlis, kas dalās bez atlikuma.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu x+6 ar 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Savelciet 2x un x\times 15, lai iegūtu 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu x ar x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Atņemiet x^{2} no abām pusēm.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Atņemiet 6x no abām pusēm.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Savelciet 17x un -6x, lai iegūtu 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -1, b ar 11 un c ar 12.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Kāpiniet 11 kvadrātā.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -1.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+4\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet 4 reiz 12.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-1\right)}$$

Pieskaitiet 121 pie 48.

$$x=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 169.

$$x=\frac{-11±13}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -1.

$$x=\frac{-11±13}{-2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-11±13}{-2}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -11 pie 13.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Daliet 2 ar -2.

$$x=-1$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-11±13}{-2}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 13 no -11.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

Daliet -24 ar -2.

$$x=12$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=-1 x=12$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Mainīgais x nevar būt vienāds ar jebkuru no vērtībām -6,0, jo dalīšana ar nulli nav definēta. Reiziniet abas vienādojuma puses ar x\left(x+6\right), kas ir mazākais x,x+6 skaitlis, kas dalās bez atlikuma.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu x+6 ar 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Savelciet 2x un x\times 15, lai iegūtu 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu x ar x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Atņemiet x^{2} no abām pusēm.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Atņemiet 6x no abām pusēm.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Savelciet 17x un -6x, lai iegūtu 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Atņemiet 12 no abām pusēm. Atņemot nu nulles jebko, iegūst tā noliegumu.

$$11x-x^{2}=-12$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+11x=-12$$

Daliet abas puses ar -1.

$$\frac{-x^{2}+11x}{-1}=-\frac{12}{-1}$$

Dalīšana ar -1 atsauc reizināšanu ar -1.

$$x^{2}+\frac{11}{-1}x=-\frac{12}{-1}$$

Daliet 11 ar -1.

$$x^{2}-11x=-\frac{12}{-1}$$

Daliet -12 ar -1.

$$x^{2}-11x=12$$

Daliet locekļa x koeficientu -11 ar 2, lai iegūtu -\frac{11}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{11}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=12+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{11}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=12+\frac{121}{4}$$

Pieskaitiet 12 pie \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{169}{4}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-11x+\frac{121}{4}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{13}{2}$$

Pieskaitiet \frac{11}{2} abās vienādojuma pusēs.

$$x=12 x=-1$$