Atrisiniet 1/x+40+1/x=1/48

$$\frac { 1 } { x + 40 } + \frac { 1 } { x } = \frac { 1 } { 48 }$$

Atrast x

$$x=-24$$

$$x=80$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Mainīgais x nevar būt vienāds ar jebkuru no vērtībām -40,0, jo dalīšana ar nulli nav definēta. Reiziniet abas vienādojuma puses ar 48x\left(x+40\right), kas ir mazākais x+40,x,48 skaitlis, kas dalās bez atlikuma.

$$48x+48x+1920=x\left(x+40\right)$$

Savelciet 48x un 48x, lai iegūtu 96x.

$$96x+1920=x\left(x+40\right)$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu x ar x+40.

$$96x+1920=x^{2}+40x$$

Atņemiet x^{2} no abām pusēm.

$$96x+1920-x^{2}=40x$$

Atņemiet 40x no abām pusēm.

$$96x+1920-x^{2}-40x=0$$

Savelciet 96x un -40x, lai iegūtu 56x.

$$56x+1920-x^{2}=0$$

Pārkārtojiet polinomu, lai tas būtu standarta formā. Sakārtojiet locekļus secībā no lielākās līdz mazākajai pakāpei.

$$-x^{2}+56x+1920=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā -x^{2}+ax+bx+1920. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=56 ab=-1920=-1920$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir pozitīvs, pozitīvam skaitlim ir lielāks absolūtā vērtība nekā negatīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -1920.

$$-1,1920 -2,960 -3,640 -4,480 -5,384 -6,320 -8,240 -10,192 -12,160 -15,128 -16,120 -20,96 -24,80 -30,64 -32,60 -40,48$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1+1920=1919 -2+960=958 -3+640=637 -4+480=476 -5+384=379 -6+320=314 -8+240=232 -10+192=182 -12+160=148 -15+128=113 -16+120=104 -20+96=76 -24+80=56 -30+64=34 -32+60=28 -40+48=8$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 56.

$$a=80 b=-24$$

Pārrakstiet -x^{2}+56x+1920 kā \left(-x^{2}+80x\right)+\left(-24x+1920\right).

$$\left(-x^{2}+80x\right)+\left(-24x+1920\right)$$

Sadaliet -x pirmo un -24 otrajā grupā.

$$-x\left(x-80\right)-24\left(x-80\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju x-80 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x-80\right)\left(-x-24\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-80=0 un -x-24=0.

$$x=80 x=-24$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Mainīgais x nevar būt vienāds ar jebkuru no vērtībām -40,0, jo dalīšana ar nulli nav definēta. Reiziniet abas vienādojuma puses ar 48x\left(x+40\right), kas ir mazākais x+40,x,48 skaitlis, kas dalās bez atlikuma.

$$48x+48x+1920=x\left(x+40\right)$$

Savelciet 48x un 48x, lai iegūtu 96x.

$$96x+1920=x\left(x+40\right)$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu x ar x+40.

$$96x+1920=x^{2}+40x$$

Atņemiet x^{2} no abām pusēm.

$$96x+1920-x^{2}=40x$$

Atņemiet 40x no abām pusēm.

$$96x+1920-x^{2}-40x=0$$

Savelciet 96x un -40x, lai iegūtu 56x.

$$56x+1920-x^{2}=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$-x^{2}+56x+1920=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -1, b ar 56 un c ar 1920.

$$x=\frac{-56±\sqrt{56^{2}-4\left(-1\right)\times 1920}}{2\left(-1\right)}$$

Kāpiniet 56 kvadrātā.

$$x=\frac{-56±\sqrt{3136-4\left(-1\right)\times 1920}}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -1.

$$x=\frac{-56±\sqrt{3136+4\times 1920}}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet 4 reiz 1920.

$$x=\frac{-56±\sqrt{3136+7680}}{2\left(-1\right)}$$

Pieskaitiet 3136 pie 7680.

$$x=\frac{-56±\sqrt{10816}}{2\left(-1\right)}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 10816.

$$x=\frac{-56±104}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -1.

$$x=\frac{-56±104}{-2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-56±104}{-2}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -56 pie 104.

$$x=\frac{48}{-2}$$

Daliet 48 ar -2.

$$x=-24$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-56±104}{-2}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 104 no -56.

$$x=-\frac{160}{-2}$$

Daliet -160 ar -2.

$$x=80$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=-24 x=80$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Mainīgais x nevar būt vienāds ar jebkuru no vērtībām -40,0, jo dalīšana ar nulli nav definēta. Reiziniet abas vienādojuma puses ar 48x\left(x+40\right), kas ir mazākais x+40,x,48 skaitlis, kas dalās bez atlikuma.

$$48x+48x+1920=x\left(x+40\right)$$

Savelciet 48x un 48x, lai iegūtu 96x.

$$96x+1920=x\left(x+40\right)$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu x ar x+40.

$$96x+1920=x^{2}+40x$$

Atņemiet x^{2} no abām pusēm.

$$96x+1920-x^{2}=40x$$

Atņemiet 40x no abām pusēm.

$$96x+1920-x^{2}-40x=0$$

Savelciet 96x un -40x, lai iegūtu 56x.

$$56x+1920-x^{2}=0$$

Atņemiet 1920 no abām pusēm. Atņemot nu nulles jebko, iegūst tā noliegumu.

$$56x-x^{2}=-1920$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+56x=-1920$$

Daliet abas puses ar -1.

$$\frac{-x^{2}+56x}{-1}=-\frac{1920}{-1}$$

Dalīšana ar -1 atsauc reizināšanu ar -1.

$$x^{2}+\frac{56}{-1}x=-\frac{1920}{-1}$$

Daliet 56 ar -1.

$$x^{2}-56x=-\frac{1920}{-1}$$

Daliet -1920 ar -1.

$$x^{2}-56x=1920$$

Daliet locekļa x koeficientu -56 ar 2, lai iegūtu -28. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -28 kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-56x+\left(-28\right)^{2}=1920+\left(-28\right)^{2}$$

Kāpiniet -28 kvadrātā.

$$x^{2}-56x+784=1920+784$$

Pieskaitiet 1920 pie 784.

$$x^{2}-56x+784=2704$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-56x+784. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-28\right)^{2}=2704$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-28\right)^{2}}=\sqrt{2704}$$

Vienkāršojiet.

$$x-28=52 x-28=-52$$

Pieskaitiet 28 abās vienādojuma pusēs.

$$x=80 x=-24$$