ແກ້ z^6-z^3+1=0

$$z ^ { 6 } - z ^ { 3 } + 1 = 0$$

ແກ້ສຳລັບ z

$$z\in e^{\frac{5\pi i}{9}},e^{\frac{17\pi i}{9}},e^{\frac{11\pi i}{9}},e^{\frac{13\pi i}{9}},e^{\frac{\pi i}{9}},e^{\frac{7\pi i}{9}}$$

ຂັ້ນຕອນການໃຊ້ສູດຄຳນວນກຳລັງສອງ

ປ່ຽນແທນ t ສຳລັບ z^{3}.

$$t^{2}-t+1=0$$

ສົມຜົນທັງໝົດຈາກແບບຟອມ ax^{2}+bx+c=0 ສາມາດແກ້ໄຂໄດ້ໂດຍໃຊ້ສູດຄຳນວນກຳລັງສອງ: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. ແທນ 1 ໃຫ້ a, -1 ໃຫ້ b ແລະ 1 ໃຫ້ c ໃນສູດຄຳນວນກຳລັງສອງ.

$$t=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

ເລີ່ມຄຳນວນ.

$$t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2}$$

ແກ້ສົມຜົນ t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2} ເມື່ອ ± ເປັນບວກ ແລະ ± ເປັນລົບ.

$$t=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} t=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

ເນື່ອງຈາກ z=t^{3}, ຄຳຕອບແມ່ນໄດ້ມາຈາກການແກ້ໄຂສົມຜົນສຳລັບແຕ່ລະ t.

$$z=-e^{\frac{4\pi i}{9}} z=ie^{\frac{5\pi i}{18}} z=e^{\frac{\pi i}{9}} z=-ie^{\frac{7\pi i}{18}} z=-e^{\frac{2\pi i}{9}} z=ie^{\frac{\pi i}{18}}$$