ແກ້ ax+3y=15text{ve}3x+by=4d

$$a x + 3 y = 15 \text { ve } 3 x + b y = 4 d$$

ແກ້ສຳລັບ x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{3\left(5b-4d\right)}{9-ab}\text{, }y=\frac{45-4ad}{9-ab}\text{, }&b=0\text{ or }a\neq \frac{9}{b}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=\frac{15-ax}{3}\text{, }&d=\frac{45}{4a}\text{ and }b=\frac{9}{a}\text{ and }a\neq 0\end{matrix}\right,$$

ຂັ້ນຕອນການໃຊ້ການແທນ

ເພື່ອແກ້ຄູ່ສົມຜົນໃດໜຶ່ງໂດຍໃຊ້ການແທນ, ທຳອິດໃຫ້ແກ້ໜຶ່ງໃນສົມຜົນນັ້ນສຳລັບໜຶ່ງໃນຕົວແປຕ່າງໆກ່ອນ. ຈາກນັ້ນແທນທີ່ຜົນສຳລັບຕົວແປນັ້ນໃນສົມຜົນອື່ນ.

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

ເລືອກໜຶ່ງໃນສົມຜົນ ແລະ ແກ້ມັນສຳລັບ x ໂດຍການແຍກ x ທາງຊ້າຍຂອງເຄື່ອງໝາຍເທົ່າກັບ.

$$ax+3y=15$$

ລົບ 3y ອອກຈາກສົມຜົນທັງສອງຂ້າງ.

$$ax=-3y+15$$

ຫານທັງສອງຂ້າງດ້ວຍ a.

$$x=\frac{1}{a}\left(-3y+15\right)$$

ຄູນ \frac{1}{a} ໃຫ້ກັບ -3y+15.

$$x=\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}$$

ການແທນ\frac{3\left(5-y\right)}{a} ສຳລັບ x ໃນສົມຜົນອື່ນ, 3x+by=4d.

$$3\left(\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}\right)+by=4d$$

ຄູນ 3 ໃຫ້ກັບ \frac{3\left(5-y\right)}{a}.

$$\left(-\frac{9}{a}\right)y+\frac{45}{a}+by=4d$$

ເພີ່ມ -\frac{9y}{a} ໃສ່ by.

$$\left(b-\frac{9}{a}\right)y+\frac{45}{a}=4d$$

ລົບ \frac{45}{a} ອອກຈາກສົມຜົນທັງສອງຂ້າງ.

$$\left(b-\frac{9}{a}\right)y=4d-\frac{45}{a}$$

ຫານທັງສອງຂ້າງດ້ວຍ b-\frac{9}{a}.

$$y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

ການແທນ \frac{4da-45}{ba-9} ສຳລັບ y ໃນ x=\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}. ເນື່ອງຈາກຜົນຂອງສົມຜົນມີໜຶ່ງຕົວແປເທົ່ານັ້ນ, ທ່ານສາມາດແກ້ສຳລັບ x ໄດ້ໂດຍກົງ.

$$x=\left(-\frac{3}{a}\right)\times \frac{4ad-45}{ab-9}+\frac{15}{a}$$

ຄູນ -\frac{3}{a} ໃຫ້ກັບ \frac{4da-45}{ba-9}.

$$x=-\frac{3\left(4ad-45\right)}{a\left(ab-9\right)}+\frac{15}{a}$$

ເພີ່ມ \frac{15}{a} ໃສ່ -\frac{3\left(4da-45\right)}{a\left(ba-9\right)}.

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9}$$

ຕອນນີ້ແກ້ໄຂລະບົບແລ້ວ.

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9},y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

ຂັ້ນຕອນການໃຊ້ເມທຣິກ

ວາງສົມຜົນໃນຮູບແບບມາດຕະຖານ ແລ້ວຈາກນັ້ນໃຊ້ເມທຣິກເພື່ອແກ້ລະບົບສົມຜົນ.

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

ຂຽນສົມຜົນໃນຮູບແບບເມທຣິກ.

$$\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

ຄູນຊ້າຍໃສ່ສົມຜົນຕາມເມທຣິກປີ້ນກັບຂອງ \left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

ຜະລິດຕະພັນຂອງເມທຣິກ ແລະ ຄ່າປີ້ນຂອງມັນແມ່ນເມທຣິກການຢືນຢັນ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

ຄູນເມທຣິດຢູ່ດ້ານຊ້າຍຂອງເຄື່ອງໝາຍເທົ່າກັບ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

ສຳລັບແມ​ຕ​ຣິກ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ແມ​ຕ​ຣິກກົງກັນຂ້າມແມ່ນ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ດັ່ງນັ້ນສົມຜົນເມທຣິກສາມາດຖືກຂຽນຄືນໃໝ່ເປັນບັນຫາສູດຄູນເມທຣິກໄດ້.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-3\times 3}&-\frac{3}{ab-3\times 3}\\-\frac{3}{ab-3\times 3}&\frac{a}{ab-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

ເຮັດເລກຄະນິດ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-9}&-\frac{3}{ab-9}\\-\frac{3}{ab-9}&\frac{a}{ab-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

ຄູນເມທຣິກຕ່າງໆ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-9}\times 15+\left(-\frac{3}{ab-9}\right)\times 4d\\\left(-\frac{3}{ab-9}\right)\times 15+\frac{a}{ab-9}\times 4d\end{matrix}\right)$$

ເຮັດເລກຄະນິດ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9}\\\frac{4ad-45}{ab-9}\end{matrix}\right)$$

ສະກັດອົງປະກອບເມທຣິກ x ແລະ y.

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9},y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

ຂັ້ນຕອນການໃຊ້ການກຳຈັດ

ເພື່ອແກ້ໂດຍການກຳຈັດ, ຄ່າສຳປະສິດຂອງໜຶ່ງໃນຕົວແປຈະຕ້ອງເທົ່າກັນໃນສົມຜົນທັງສອງ ເພື່ອໃຫ້ຕົວແປຈະຍົກເລີກອອກໄປເມື່ອໜຶ່ງສົມຜົນຖືກລົບອອກຈາກສົມຜົນອື່ນ.

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

ເພື່ອເຮັດໃຫ້ ax ແລະ 3x ເທົ່າກັນ, ໃຫ້ຄູນພົດທັງໝົດໃນທັງສອງຂ້າງຂອງສົມຜົນທຳອິດດ້ວຍ 3 ແລະ ພົດທັງໝົດຂອງແຕ່ລະຂ້າງຂອງສົມຜົນທີສອງດ້ວຍ a.

$$3ax+3\times 3y=3\times 15,a\times 3x+aby=a\times 4d$$

ເຮັດໃຫ້ງ່າຍ.

$$3ax+9y=45,3ax+aby=4ad$$

ລົບ 3ax+aby=4ad ອອກຈາກ 3ax+9y=45 ໂດຍການລົບພົດອອກຈາກແຕ່ລະຂ້າງຂອງເຄື່ອງໝາຍເທົ່າກັບ.

$$3ax+\left(-3a\right)x+9y+\left(-ab\right)y=45-4ad$$

ເພີ່ມ 3ax ໃສ່ -3ax. ຂໍ້ກຳນົດ 3ax ແລະ -3ax ຍົກເລີກອອກໄປ, ເຮັດໃຫ້ມີສົມຜົນໜຶ່ງທີ່ມີພຽງຕົວແປດຽວທີ່ສາມາດແກ້ໄດ້.

$$9y+\left(-ab\right)y=45-4ad$$

ເພີ່ມ 9y ໃສ່ -aby.

$$\left(9-ab\right)y=45-4ad$$

ຫານທັງສອງຂ້າງດ້ວຍ 9-ab.

$$y=\frac{45-4ad}{9-ab}$$

ການແທນ \frac{45-4ad}{9-ab} ສຳລັບ y ໃນ 3x+by=4d. ເນື່ອງຈາກຜົນຂອງສົມຜົນມີໜຶ່ງຕົວແປເທົ່ານັ້ນ, ທ່ານສາມາດແກ້ສຳລັບ x ໄດ້ໂດຍກົງ.

$$3x+b\times \frac{45-4ad}{9-ab}=4d$$

ຄູນ b ໃຫ້ກັບ \frac{45-4ad}{9-ab}.

$$3x+\frac{b\left(45-4ad\right)}{9-ab}=4d$$

ລົບ \frac{b\left(45-4ad\right)}{9-ab} ອອກຈາກສົມຜົນທັງສອງຂ້າງ.

$$3x=\frac{9\left(4d-5b\right)}{9-ab}$$

ຫານທັງສອງຂ້າງດ້ວຍ 3.

$$x=\frac{3\left(4d-5b\right)}{9-ab}$$

ຕອນນີ້ແກ້ໄຂລະບົບແລ້ວ.

$$x=\frac{3\left(4d-5b\right)}{9-ab},y=\frac{45-4ad}{9-ab}$$

ແກ້ສຳລັບ x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{3\left(5b-4d\right)}{9-ab}\text{, }y=\frac{45-4ad}{9-ab}\text{, }&b=0\text{ or }a\neq \frac{9}{b}\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=\frac{15-ax}{3}\text{, }&d=\frac{45}{4a}\text{ and }b=\frac{9}{a}\text{ and }a\neq 0\end{matrix}\right,$$

ຂັ້ນຕອນການໃຊ້ການແທນ

ເພື່ອແກ້ຄູ່ສົມຜົນໃດໜຶ່ງໂດຍໃຊ້ການແທນ, ທຳອິດໃຫ້ແກ້ໜຶ່ງໃນສົມຜົນນັ້ນສຳລັບໜຶ່ງໃນຕົວແປຕ່າງໆກ່ອນ. ຈາກນັ້ນແທນທີ່ຜົນສຳລັບຕົວແປນັ້ນໃນສົມຜົນອື່ນ.

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

ເລືອກໜຶ່ງໃນສົມຜົນ ແລະ ແກ້ມັນສຳລັບ x ໂດຍການແຍກ x ທາງຊ້າຍຂອງເຄື່ອງໝາຍເທົ່າກັບ.

$$ax+3y=15$$

ລົບ 3y ອອກຈາກສົມຜົນທັງສອງຂ້າງ.

$$ax=-3y+15$$

ຫານທັງສອງຂ້າງດ້ວຍ a.

$$x=\frac{1}{a}\left(-3y+15\right)$$

ຄູນ \frac{1}{a} ໃຫ້ກັບ -3y+15.

$$x=\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}$$

ການແທນ\frac{3\left(5-y\right)}{a} ສຳລັບ x ໃນສົມຜົນອື່ນ, 3x+by=4d.

$$3\left(\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}\right)+by=4d$$

ຄູນ 3 ໃຫ້ກັບ \frac{3\left(5-y\right)}{a}.

$$\left(-\frac{9}{a}\right)y+\frac{45}{a}+by=4d$$

ເພີ່ມ -\frac{9y}{a} ໃສ່ by.

$$\left(b-\frac{9}{a}\right)y+\frac{45}{a}=4d$$

ລົບ \frac{45}{a} ອອກຈາກສົມຜົນທັງສອງຂ້າງ.

$$\left(b-\frac{9}{a}\right)y=4d-\frac{45}{a}$$

ຫານທັງສອງຂ້າງດ້ວຍ b-\frac{9}{a}.

$$y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

ການແທນ \frac{4da-45}{ba-9} ສຳລັບ y ໃນ x=\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}. ເນື່ອງຈາກຜົນຂອງສົມຜົນມີໜຶ່ງຕົວແປເທົ່ານັ້ນ, ທ່ານສາມາດແກ້ສຳລັບ x ໄດ້ໂດຍກົງ.

$$x=\left(-\frac{3}{a}\right)\times \frac{4ad-45}{ab-9}+\frac{15}{a}$$

ຄູນ -\frac{3}{a} ໃຫ້ກັບ \frac{4da-45}{ba-9}.

$$x=-\frac{3\left(4ad-45\right)}{a\left(ab-9\right)}+\frac{15}{a}$$

ເພີ່ມ \frac{15}{a} ໃສ່ -\frac{3\left(4da-45\right)}{a\left(ba-9\right)}.

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9}$$

ຕອນນີ້ແກ້ໄຂລະບົບແລ້ວ.

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9},y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

ຂັ້ນຕອນການໃຊ້ເມທຣິກ

ວາງສົມຜົນໃນຮູບແບບມາດຕະຖານ ແລ້ວຈາກນັ້ນໃຊ້ເມທຣິກເພື່ອແກ້ລະບົບສົມຜົນ.

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

ຂຽນສົມຜົນໃນຮູບແບບເມທຣິກ.

$$\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

ຄູນຊ້າຍໃສ່ສົມຜົນຕາມເມທຣິກປີ້ນກັບຂອງ \left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

ຜະລິດຕະພັນຂອງເມທຣິກ ແລະ ຄ່າປີ້ນຂອງມັນແມ່ນເມທຣິກການຢືນຢັນ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

ຄູນເມທຣິດຢູ່ດ້ານຊ້າຍຂອງເຄື່ອງໝາຍເທົ່າກັບ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

ສຳລັບແມ​ຕ​ຣິກ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ແມ​ຕ​ຣິກກົງກັນຂ້າມແມ່ນ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ດັ່ງນັ້ນສົມຜົນເມທຣິກສາມາດຖືກຂຽນຄືນໃໝ່ເປັນບັນຫາສູດຄູນເມທຣິກໄດ້.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-3\times 3}&-\frac{3}{ab-3\times 3}\\-\frac{3}{ab-3\times 3}&\frac{a}{ab-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

ເຮັດເລກຄະນິດ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-9}&-\frac{3}{ab-9}\\-\frac{3}{ab-9}&\frac{a}{ab-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

ຄູນເມທຣິກຕ່າງໆ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-9}\times 15+\left(-\frac{3}{ab-9}\right)\times 4d\\\left(-\frac{3}{ab-9}\right)\times 15+\frac{a}{ab-9}\times 4d\end{matrix}\right)$$

ເຮັດເລກຄະນິດ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9}\\\frac{4ad-45}{ab-9}\end{matrix}\right)$$

ສະກັດອົງປະກອບເມທຣິກ x ແລະ y.

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9},y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

ຂັ້ນຕອນການໃຊ້ການກຳຈັດ

ເພື່ອແກ້ໂດຍການກຳຈັດ, ຄ່າສຳປະສິດຂອງໜຶ່ງໃນຕົວແປຈະຕ້ອງເທົ່າກັນໃນສົມຜົນທັງສອງ ເພື່ອໃຫ້ຕົວແປຈະຍົກເລີກອອກໄປເມື່ອໜຶ່ງສົມຜົນຖືກລົບອອກຈາກສົມຜົນອື່ນ.

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

ເພື່ອເຮັດໃຫ້ ax ແລະ 3x ເທົ່າກັນ, ໃຫ້ຄູນພົດທັງໝົດໃນທັງສອງຂ້າງຂອງສົມຜົນທຳອິດດ້ວຍ 3 ແລະ ພົດທັງໝົດຂອງແຕ່ລະຂ້າງຂອງສົມຜົນທີສອງດ້ວຍ a.

$$3ax+3\times 3y=3\times 15,a\times 3x+aby=a\times 4d$$

ເຮັດໃຫ້ງ່າຍ.

$$3ax+9y=45,3ax+aby=4ad$$

ລົບ 3ax+aby=4ad ອອກຈາກ 3ax+9y=45 ໂດຍການລົບພົດອອກຈາກແຕ່ລະຂ້າງຂອງເຄື່ອງໝາຍເທົ່າກັບ.

$$3ax+\left(-3a\right)x+9y+\left(-ab\right)y=45-4ad$$

ເພີ່ມ 3ax ໃສ່ -3ax. ຂໍ້ກຳນົດ 3ax ແລະ -3ax ຍົກເລີກອອກໄປ, ເຮັດໃຫ້ມີສົມຜົນໜຶ່ງທີ່ມີພຽງຕົວແປດຽວທີ່ສາມາດແກ້ໄດ້.

$$9y+\left(-ab\right)y=45-4ad$$

ເພີ່ມ 9y ໃສ່ -aby.

$$\left(9-ab\right)y=45-4ad$$

ຫານທັງສອງຂ້າງດ້ວຍ 9-ab.

$$y=\frac{45-4ad}{9-ab}$$

ການແທນ \frac{45-4ad}{9-ab} ສຳລັບ y ໃນ 3x+by=4d. ເນື່ອງຈາກຜົນຂອງສົມຜົນມີໜຶ່ງຕົວແປເທົ່ານັ້ນ, ທ່ານສາມາດແກ້ສຳລັບ x ໄດ້ໂດຍກົງ.

$$3x+b\times \frac{45-4ad}{9-ab}=4d$$

ຄູນ b ໃຫ້ກັບ \frac{45-4ad}{9-ab}.

$$3x+\frac{b\left(45-4ad\right)}{9-ab}=4d$$

ລົບ \frac{b\left(45-4ad\right)}{9-ab} ອອກຈາກສົມຜົນທັງສອງຂ້າງ.

$$3x=\frac{9\left(4d-5b\right)}{9-ab}$$

ຫານທັງສອງຂ້າງດ້ວຍ 3.

$$x=\frac{3\left(4d-5b\right)}{9-ab}$$

ຕອນນີ້ແກ້ໄຂລະບົບແລ້ວ.

$$x=\frac{3\left(4d-5b\right)}{9-ab},y=\frac{45-4ad}{9-ab}$$