ແກ້ 23x^2+11x+9=0

$$23 x ^ { 2 } + 11 x + 9 = 0$$

ແກ້ສຳລັບ x (complex solution)

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46}\approx -0,239130435+0,578031991i$$

$$x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}\approx -0,239130435-0,578031991i$$

ຂັ້ນຕອນການໃຊ້ສູດຄຳນວນກຳລັງສອງ

ສົມຜົນທັງໝົດຂອງແບບຟອມ ax^{2}+bx+c=0 ສາມາດຖືກແກ້ໄດ້ໂດຍໃຊ້ສູດຄຳນວນສົມຜົນສອງຊັ້ນ: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. ສູດຄຳນວນສົມຜົນສອງຊັ້ນຈະໃຫ້ວິທີແກ້ສອງແບບ, ໜຶ່ງແມ່ນເມື່ອ ± ເປັນການບວກ ແລະ ອີກສອງແມ່ນເມື່ອມັນເປັນການລົບ.

$$23x^{2}+11x+9=0$$

ສົມຜົນນີ້ແມ່ນຢູ່ໃນຮູບແບບມາດຕະຖານ: ax^{2}+bx+c=0. ການແທນ 23 ສຳລັບ a, 11 ສຳລັບ b ແລະ 9 ສຳລັບ c ໃນສູດຄຳນວນກຳລັງສອງ, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 23\times 9}}{2\times 23}$$

ຮາກທີ່ສອງຂອງຄ່າສະເລ່ຍ 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 23\times 9}}{2\times 23}$$

ຄູນ -4 ໃຫ້ກັບ 23.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-92\times 9}}{2\times 23}$$

ຄູນ -92 ໃຫ້ກັບ 9.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-828}}{2\times 23}$$

ເພີ່ມ 121 ໃສ່ -828.

$$x=\frac{-11±\sqrt{-707}}{2\times 23}$$

ເອົາຮາກຂັ້ນສອງຂອງ -707.

$$x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{2\times 23}$$

ຄູນ 2 ໃຫ້ກັບ 23.

$$x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46}$$

ຕອນນີ້ໃຫ້ແກ້ສົມຜົນ x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46} ເມື່ອ ± ບວກ. ເພີ່ມ -11 ໃສ່ i\sqrt{707}.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46}$$

ຕອນນີ້ໃຫ້ແກ້ສົມຜົນ x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46} ເມື່ອ ± ເປັນລົບ. ລົບ i\sqrt{707} ອອກຈາກ -11.

$$x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$

ຕອນນີ້ແກ້ໄຂສົມຜົນແລ້ວ.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46} x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$

ຂັ້ນຕອນການເຮັດຮາກທີສອງຂອງຄ່າສະເລ່ຍ

ສົມຜົນກຳລັງສອງແບບນີ້ສາມາດແກ້ໄດ້ໂດຍການເຮັດຮາກໃຫ້ສຳເລັດ. ເພື່ອສຳເລັດການເຮັດຮາກ, ສົມຜົນຈະຕ້ອງຢູ່ໃນຮູບແບບ x^{2}+bx=c ກ່ອນ.

$$23x^{2}+11x+9=0$$

ລົບ 9 ອອກຈາກສົມຜົນທັງສອງຂ້າງ.

$$23x^{2}+11x+9-9=-9$$

ການລົບ 9 ອອກຈາກຕົວມັນເອງຈະເຫຼືອ 0.

$$23x^{2}+11x=-9$$

ຫານທັງສອງຂ້າງດ້ວຍ 23.

$$\frac{23x^{2}+11x}{23}=-\frac{9}{23}$$

ການຫານດ້ວຍ 23 ຈະຍົກເລີກການຄູນດ້ວຍ 23.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x=-\frac{9}{23}$$

ຫານ \frac{11}{23}, ຄ່າສຳປະສິດຂອງ x ດ້ວຍ 2 ເພື່ອໃຫ້ໄດ້ \frac{11}{46}. ຈາກນັ້ນເພີ່ມຮາກຂອງ \frac{11}{46} ໃສ່ທັງສອງຂ້າງຂອງສົມຜົນ. ຂັ້ນຕອນນີ້ຈະເຮັດໃຫ້ຂ້າງຊ້າຍຂອງສົມຜົນເປັນຮາກສົມບູນ.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\left(\frac{11}{46}\right)^{2}=-\frac{9}{23}+\left(\frac{11}{46}\right)^{2}$$

ຮາກທີສອງຂອງຄ່າສະເລ່ຍ \frac{11}{46} ໂດຍຮາກທີສອງຂອງທັງຕົວສເສດ ແລະ ຕົວຫານຂອງເສດສ່ວນ.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}=-\frac{9}{23}+\frac{121}{2116}$$

ເພີ່ມ -\frac{9}{23} ໃສ່ \frac{121}{2116} ໂດຍການຊອກຫາຕົວຫານທົ່ວໄປ ແລະ ການເພີ່ມຕົວເສດ. ຈາກນັ້ນ, ຫຼຸດເສດສ່ວນເປັນຈຳນວນໜ້ອຍທີ່ສຸດຫາກເປັນໄປໄດ້.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}=-\frac{707}{2116}$$

ຕົວປະກອບ x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}. ໃນທົ່ວໄປ, ເມື່ອ x^{2}+bx+c ເປັນຮາກສົມບູນ, ມັນສາມາດເປັນຕົວປະກອບ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ໄດ້ສະເໝີ.

$$\left(x+\frac{11}{46}\right)^{2}=-\frac{707}{2116}$$

ເອົາຮາກຂັ້ນສອງຂອງທັງສອງຂ້າງຂອງສົມຜົນ.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{46}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{707}{2116}}$$

ເຮັດໃຫ້ງ່າຍ.

$$x+\frac{11}{46}=\frac{\sqrt{707}i}{46} x+\frac{11}{46}=-\frac{\sqrt{707}i}{46}$$

ລົບ \frac{11}{46} ອອກຈາກສົມຜົນທັງສອງຂ້າງ.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46} x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$