ແກ້ 13n^2-41n-120=0

$$13 n ^ { 2 } - 41 n - 120 = 0$$

ແກ້ສຳລັບ n

$$n = -\frac{24}{13} = -1\frac{11}{13} \approx -1,846153846$$

$$n=5$$

ຂັ້ນຕອນໂດຍໃຊ້ການຫານດ້ວຍການຈັດກຸ່ມ

ເພື່ອແກ້ສົມຜົນ, ໃຫ້ຫານທາງຊ້າຍໂດຍການຈັດກຸ່ມ, ທຳອິດ, ທາງຊ້າຍຈະຕ້ອງຂຽນໃໝ່ເປັນ 13n^{2}+an+bn-120. ເພື່ອຊອກຫາ a ແລະ b, ໃຫ້ຕັ້ງຄ່າລະບົບເພື່ອຖືກແກ້ໄຂ.

$$a+b=-41 ab=13\left(-120\right)=-1560$$

ເນື່ອງຈາກ ab ເປັນຄ່າລົບ, a ແລະ b ຈຶ່ງມີສັນຍາລັກກົງກັນຂ້າມ. ເນື່ອງຈາກ a+b ເປັນຄ່າລົບ, ຈຳນວນລົບມີຄ່າສົມບູນສູງກວ່າຈຳນວນບວກ. ສ້າງລາຍຊື່ຄູ່ຈຳນວນເຕັມທັງໝົດທີ່ໃຫ້ຜົນ -1560.

$$1,-1560 2,-780 3,-520 4,-390 5,-312 6,-260 8,-195 10,-156 12,-130 13,-120 15,-104 20,-78 24,-65 26,-60 30,-52 39,-40$$

ຄຳນວນຈຳນວນຮວມສຳລັບແຕ່ລະຄູ່.

$$1-1560=-1559 2-780=-778 3-520=-517 4-390=-386 5-312=-307 6-260=-254 8-195=-187 10-156=-146 12-130=-118 13-120=-107 15-104=-89 20-78=-58 24-65=-41 26-60=-34 30-52=-22 39-40=-1$$

ທາງອອກດັ່ງກ່າວເປັນຄູ່ທີ່ໃຫ້ຜົນຮວມ -41.

$$a=-65 b=24$$

ຂຽນ 13n^{2}-41n-120 ຄືນໃໝ່ເປັນ \left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right).

$$\left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right)$$

ຕົວຫານ 13n ໃນຕອນທຳອິດ ແລະ 24 ໃນກຸ່ມທີສອງ.

$$13n\left(n-5\right)+24\left(n-5\right)$$

ແຍກຄຳທົ່ວໄປ n-5 ໂດຍການໃຊ້ຄຸນສົມບັດການແຈກຢາຍ.

$$\left(n-5\right)\left(13n+24\right)$$

ເພື່ອຊອກຫາວິທີແກ້ສົມຜົນ, ໃຫ້ແກ້ n-5=0 ແລະ 13n+24=0.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

ຂັ້ນຕອນການໃຊ້ສູດຄຳນວນກຳລັງສອງ

ສົມຜົນທັງໝົດຂອງແບບຟອມ ax^{2}+bx+c=0 ສາມາດຖືກແກ້ໄດ້ໂດຍໃຊ້ສູດຄຳນວນສົມຜົນສອງຊັ້ນ: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. ສູດຄຳນວນສົມຜົນສອງຊັ້ນຈະໃຫ້ວິທີແກ້ສອງແບບ, ໜຶ່ງແມ່ນເມື່ອ ± ເປັນການບວກ ແລະ ອີກສອງແມ່ນເມື່ອມັນເປັນການລົບ.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

ສົມຜົນນີ້ແມ່ນຢູ່ໃນຮູບແບບມາດຕະຖານ: ax^{2}+bx+c=0. ການແທນ 13 ສຳລັບ a, -41 ສຳລັບ b ແລະ -120 ສຳລັບ c ໃນສູດຄຳນວນກຳລັງສອງ, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

ຮາກທີ່ສອງຂອງຄ່າສະເລ່ຍ -41.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

ຄູນ -4 ໃຫ້ກັບ 13.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-52\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

ຄູນ -52 ໃຫ້ກັບ -120.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681+6240}}{2\times 13}$$

ເພີ່ມ 1681 ໃສ່ 6240.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{7921}}{2\times 13}$$

ເອົາຮາກຂັ້ນສອງຂອງ 7921.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±89}{2\times 13}$$

ຈຳນວນກົງກັນຂ້າມຂອງ -41 ແມ່ນ 41.

$$n=\frac{41±89}{2\times 13}$$

ຄູນ 2 ໃຫ້ກັບ 13.

$$n=\frac{41±89}{26}$$

ຕອນນີ້ໃຫ້ແກ້ສົມຜົນ n=\frac{41±89}{26} ເມື່ອ ± ບວກ. ເພີ່ມ 41 ໃສ່ 89.

$$n=\frac{130}{26}$$

ຫານ 130 ດ້ວຍ 26.

$$n=5$$

ຕອນນີ້ໃຫ້ແກ້ສົມຜົນ n=\frac{41±89}{26} ເມື່ອ ± ເປັນລົບ. ລົບ 89 ອອກຈາກ 41.

$$n=-\frac{48}{26}$$

ຫຼຸດເສດສ່ວນ \frac{-48}{26} ເປັນຈຳນວນໜ້ອຍສຸດໂດຍແຍກ ແລະ ຍົກເລີກ 2.

$$n=-\frac{24}{13}$$

ຕອນນີ້ແກ້ໄຂສົມຜົນແລ້ວ.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

ຂັ້ນຕອນການເຮັດຮາກທີສອງຂອງຄ່າສະເລ່ຍ

ສົມຜົນກຳລັງສອງແບບນີ້ສາມາດແກ້ໄດ້ໂດຍການເຮັດຮາກໃຫ້ສຳເລັດ. ເພື່ອສຳເລັດການເຮັດຮາກ, ສົມຜົນຈະຕ້ອງຢູ່ໃນຮູບແບບ x^{2}+bx=c ກ່ອນ.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

ເພີ່ມ 120 ໃສ່ທັງສອງດ້ານຂອງສົມຜົນ.

$$13n^{2}-41n-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

ການລົບ -120 ອອກຈາກຕົວມັນເອງຈະເຫຼືອ 0.

$$13n^{2}-41n=-\left(-120\right)$$

ລົບ -120 ອອກຈາກ 0.

$$13n^{2}-41n=120$$

ຫານທັງສອງຂ້າງດ້ວຍ 13.

$$\frac{13n^{2}-41n}{13}=\frac{120}{13}$$

ການຫານດ້ວຍ 13 ຈະຍົກເລີກການຄູນດ້ວຍ 13.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n=\frac{120}{13}$$

ຫານ -\frac{41}{13}, ຄ່າສຳປະສິດຂອງ x ດ້ວຍ 2 ເພື່ອໃຫ້ໄດ້ -\frac{41}{26}. ຈາກນັ້ນເພີ່ມຮາກຂອງ -\frac{41}{26} ໃສ່ທັງສອງຂ້າງຂອງສົມຜົນ. ຂັ້ນຕອນນີ້ຈະເຮັດໃຫ້ຂ້າງຊ້າຍຂອງສົມຜົນເປັນຮາກສົມບູນ.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{120}{13}+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}$$

ຮາກທີສອງຂອງຄ່າສະເລ່ຍ -\frac{41}{26} ໂດຍຮາກທີສອງຂອງທັງຕົວສເສດ ແລະ ຕົວຫານຂອງເສດສ່ວນ.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{120}{13}+\frac{1681}{676}$$

ເພີ່ມ \frac{120}{13} ໃສ່ \frac{1681}{676} ໂດຍການຊອກຫາຕົວຫານທົ່ວໄປ ແລະ ການເພີ່ມຕົວເສດ. ຈາກນັ້ນ, ຫຼຸດເສດສ່ວນເປັນຈຳນວນໜ້ອຍທີ່ສຸດຫາກເປັນໄປໄດ້.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{7921}{676}$$

ຕົວປະກອບ n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}. ໃນທົ່ວໄປ, ເມື່ອ x^{2}+bx+c ເປັນຮາກສົມບູນ, ມັນສາມາດເປັນຕົວປະກອບ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ໄດ້ສະເໝີ.

$$\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{7921}{676}$$

ເອົາຮາກຂັ້ນສອງຂອງທັງສອງຂ້າງຂອງສົມຜົນ.

$$\sqrt{\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{676}}$$

ເຮັດໃຫ້ງ່າຍ.

$$n-\frac{41}{26}=\frac{89}{26} n-\frac{41}{26}=-\frac{89}{26}$$

ເພີ່ມ \frac{41}{26} ໃສ່ທັງສອງດ້ານຂອງສົມຜົນ.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$