ແກ້ sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

ແກ້ສຳລັບ x (complex solution)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3,31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3,31662479i$$

ຂັ້ນຕອນການແກ້

ລົບ -\sqrt{15+x^{2}} ອອກຈາກສົມຜົນທັງສອງຂ້າງ.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

ຮາກທີ່ສອງຂອງຄ່າສະເລ່ຍຂອງສົມຜົນທັງສອງຂ້າງ.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

ຄຳນວນ \sqrt{25-x^{2}} ກຳລັງ 2 ແລະ ໄດ້ 25-x^{2}.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

ໃຊ້ທິດສະດີທະວິນາມ \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ເພື່ອຂະຫຍາຍ \left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

ຄຳນວນ \sqrt{15+x^{2}} ກຳລັງ 2 ແລະ ໄດ້ 15+x^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

ເພີ່ມ 16 ແລະ 15 ເພື່ອໃຫ້ໄດ້ 31.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

ລົບ 31+x^{2} ອອກຈາກສົມຜົນທັງສອງຂ້າງ.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

ຊອກຫາຄຳກົງກັນຂ້າມຂອງ 31+x^{2}, ຊອກຫາຄຳກົງກັນຂ້າມຂອງແຕ່ລະຄຳ.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

ລົບ 31 ອອກຈາກ 25 ເພື່ອໃຫ້ໄດ້ -6.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

ຮວມ -x^{2} ແລະ -x^{2} ເພື່ອຮັບ -2x^{2}.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

ຮາກທີ່ສອງຂອງຄ່າສະເລ່ຍຂອງສົມຜົນທັງສອງຂ້າງ.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

ໃຊ້ທິດສະດີທະວິນາມ \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ເພື່ອຂະຫຍາຍ \left(-6-2x^{2}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

ເພື່ອຍົກເລກກຳລັງໃຫ້ສູງຂຶ້ນ, ໃຫ້ຄູນເລກກຳລັງນັ້ນ. ຄູນ 2 ກັບ 2 ເພື່ອໃຫ້ໄດ້ 4.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

ຂະຫຍາຍ \left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

ຄຳນວນ 8 ກຳລັງ 2 ແລະ ໄດ້ 64.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

ຄຳນວນ \sqrt{15+x^{2}} ກຳລັງ 2 ແລະ ໄດ້ 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

ໃຊ້ຄຸນສົມບັດການແຈກແຈງເພື່ອຄູນ 64 ດ້ວຍ 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

ລົບ 960 ອອກຈາກທັງສອງຂ້າງ.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

ລົບ 960 ອອກຈາກ 36 ເພື່ອໃຫ້ໄດ້ -924.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

ລົບ 64x^{2} ອອກຈາກທັງສອງຂ້າງ.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

ຮວມ 24x^{2} ແລະ -64x^{2} ເພື່ອຮັບ -40x^{2}.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

ປ່ຽນແທນ t ສຳລັບ x^{2}.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

ສົມຜົນທັງໝົດຈາກແບບຟອມ ax^{2}+bx+c=0 ສາມາດແກ້ໄຂໄດ້ໂດຍໃຊ້ສູດຄຳນວນກຳລັງສອງ: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. ແທນ 4 ໃຫ້ a, -40 ໃຫ້ b ແລະ -924 ໃຫ້ c ໃນສູດຄຳນວນກຳລັງສອງ.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

ເລີ່ມຄຳນວນ.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

ແກ້ສົມຜົນ t=\frac{40±128}{8} ເມື່ອ ± ເປັນບວກ ແລະ ± ເປັນລົບ.

$$t=21 t=-11$$

ເນື່ອງຈາກ x=t^{2}, ຄຳຕອບຈຶ່ງຖືກນຳມາຈາກການປະເມີນ x=±\sqrt{t} ສຳລັບແຕ່ລະ t.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

ປ່ຽນແທນ -\sqrt{21} ສຳລັບ x ໃນສົມຜົນອື່ນ \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

ເຮັດໃຫ້ງ່າຍ. ຄ່າ x=-\sqrt{21} ບໍ່ເປັນໄປຕາມສົມຜົນ ເພາະວ່າທາງຊ້າຍ ແລະ ຂວາມືມີເຄື່ອງໝາຍທີ່ກົງກັນຂ້າງ.

$$-4=4$$

ປ່ຽນແທນ \sqrt{21} ສຳລັບ x ໃນສົມຜົນອື່ນ \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

ເຮັດໃຫ້ງ່າຍ. ຄ່າ x=\sqrt{21} ບໍ່ເປັນໄປຕາມສົມຜົນ ເພາະວ່າທາງຊ້າຍ ແລະ ຂວາມືມີເຄື່ອງໝາຍທີ່ກົງກັນຂ້າງ.

$$-4=4$$

ປ່ຽນແທນ -\sqrt{11}i ສຳລັບ x ໃນສົມຜົນອື່ນ \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

ເຮັດໃຫ້ງ່າຍ. ຄ່າ x=-\sqrt{11}i ເປັນໄປຕາມສົມຜົນ.

$$4=4$$

ປ່ຽນແທນ \sqrt{11}i ສຳລັບ x ໃນສົມຜົນອື່ນ \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

ເຮັດໃຫ້ງ່າຍ. ຄ່າ x=\sqrt{11}i ເປັນໄປຕາມສົມຜົນ.

$$4=4$$

ລາຍການຄຳຕອບທັງໝົດຂອງ \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$