ແກ້ {l}{9x+y=31}{5x-y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x + y = 31 } \\ { 5 x - y = 11 } \end{array} \right\}$$

ແກ້ສຳລັບ x, y

$$x=3$$

$$y=4$$

ຂັ້ນຕອນການໃຊ້ການແທນ

ເພື່ອແກ້ຄູ່ສົມຜົນໃດໜຶ່ງໂດຍໃຊ້ການແທນ, ທຳອິດໃຫ້ແກ້ໜຶ່ງໃນສົມຜົນນັ້ນສຳລັບໜຶ່ງໃນຕົວແປຕ່າງໆກ່ອນ. ຈາກນັ້ນແທນທີ່ຜົນສຳລັບຕົວແປນັ້ນໃນສົມຜົນອື່ນ.

$$9x+y=31,5x-y=11$$

ເລືອກໜຶ່ງໃນສົມຜົນ ແລະ ແກ້ມັນສຳລັບ x ໂດຍການແຍກ x ທາງຊ້າຍຂອງເຄື່ອງໝາຍເທົ່າກັບ.

$$9x+y=31$$

ລົບ y ອອກຈາກສົມຜົນທັງສອງຂ້າງ.

$$9x=-y+31$$

ຫານທັງສອງຂ້າງດ້ວຍ 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-y+31\right)$$

ຄູນ \frac{1}{9} ໃຫ້ກັບ -y+31.

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{31}{9}$$

ການແທນ\frac{-y+31}{9} ສຳລັບ x ໃນສົມຜົນອື່ນ, 5x-y=11.

$$5\left(-\frac{1}{9}y+\frac{31}{9}\right)-y=11$$

ຄູນ 5 ໃຫ້ກັບ \frac{-y+31}{9}.

$$-\frac{5}{9}y+\frac{155}{9}-y=11$$

ເພີ່ມ -\frac{5y}{9} ໃສ່ -y.

$$-\frac{14}{9}y+\frac{155}{9}=11$$

ລົບ \frac{155}{9} ອອກຈາກສົມຜົນທັງສອງຂ້າງ.

$$-\frac{14}{9}y=-\frac{56}{9}$$

ຫານທັງສອງຂ້າງຂອງສົມຜົນດ້ວຍ -\frac{14}{9}, ເຊິ່ງເທົ່າກັບການຄູນທັງສອງຂ້າງດ້ວຍຈຳນວນເລກທີ່ກັບກັນຂອງເສດສ່ວນນັ້ນ.

$$y=4$$

ການແທນ 4 ສຳລັບ y ໃນ x=-\frac{1}{9}y+\frac{31}{9}. ເນື່ອງຈາກຜົນຂອງສົມຜົນມີໜຶ່ງຕົວແປເທົ່ານັ້ນ, ທ່ານສາມາດແກ້ສຳລັບ x ໄດ້ໂດຍກົງ.

$$x=-\frac{1}{9}\times 4+\frac{31}{9}$$

ຄູນ -\frac{1}{9} ໃຫ້ກັບ 4.

$$x=\frac{-4+31}{9}$$

ເພີ່ມ \frac{31}{9} ໃສ່ -\frac{4}{9} ໂດຍການຊອກຫາຕົວຫານທົ່ວໄປ ແລະ ການເພີ່ມຕົວເສດ. ຈາກນັ້ນ, ຫຼຸດເສດສ່ວນເປັນຈຳນວນໜ້ອຍທີ່ສຸດຫາກເປັນໄປໄດ້.

$$x=3$$

ຕອນນີ້ແກ້ໄຂລະບົບແລ້ວ.

$$x=3,y=4$$

ຂັ້ນຕອນການໃຊ້ເມທຣິກ

ວາງສົມຜົນໃນຮູບແບບມາດຕະຖານ ແລ້ວຈາກນັ້ນໃຊ້ເມທຣິກເພື່ອແກ້ລະບົບສົມຜົນ.

$$9x+y=31,5x-y=11$$

ຂຽນສົມຜົນໃນຮູບແບບເມທຣິກ.

$$\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

ຄູນຊ້າຍໃສ່ສົມຜົນຕາມເມທຣິກປີ້ນກັບຂອງ \left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

ຜະລິດຕະພັນຂອງເມທຣິກ ແລະ ຄ່າປີ້ນຂອງມັນແມ່ນເມທຣິກການຢືນຢັນ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

ຄູນເມທຣິດຢູ່ດ້ານຊ້າຍຂອງເຄື່ອງໝາຍເທົ່າກັບ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

ສຳລັບແມ​ຕ​ຣິກ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ແມ​ຕ​ຣິກກົງກັນຂ້າມແມ່ນ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ດັ່ງນັ້ນສົມຜົນເມທຣິກສາມາດຖືກຂຽນຄືນໃໝ່ເປັນບັນຫາສູດຄູນເມທຣິກໄດ້.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9\left(-1\right)-5}&-\frac{1}{9\left(-1\right)-5}\\-\frac{5}{9\left(-1\right)-5}&\frac{9}{9\left(-1\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

ເຮັດເລກຄະນິດ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{1}{14}\\\frac{5}{14}&-\frac{9}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

ຄູນເມທຣິກຕ່າງໆ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 31+\frac{1}{14}\times 11\\\frac{5}{14}\times 31-\frac{9}{14}\times 11\end{matrix}\right)$$

ເຮັດເລກຄະນິດ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

ສະກັດອົງປະກອບເມທຣິກ x ແລະ y.

$$x=3,y=4$$

ຂັ້ນຕອນການໃຊ້ການກຳຈັດ

ເພື່ອແກ້ໂດຍການກຳຈັດ, ຄ່າສຳປະສິດຂອງໜຶ່ງໃນຕົວແປຈະຕ້ອງເທົ່າກັນໃນສົມຜົນທັງສອງ ເພື່ອໃຫ້ຕົວແປຈະຍົກເລີກອອກໄປເມື່ອໜຶ່ງສົມຜົນຖືກລົບອອກຈາກສົມຜົນອື່ນ.

$$9x+y=31,5x-y=11$$

ເພື່ອເຮັດໃຫ້ 9x ແລະ 5x ເທົ່າກັນ, ໃຫ້ຄູນພົດທັງໝົດໃນທັງສອງຂ້າງຂອງສົມຜົນທຳອິດດ້ວຍ 5 ແລະ ພົດທັງໝົດຂອງແຕ່ລະຂ້າງຂອງສົມຜົນທີສອງດ້ວຍ 9.

$$5\times 9x+5y=5\times 31,9\times 5x+9\left(-1\right)y=9\times 11$$

ເຮັດໃຫ້ງ່າຍ.

$$45x+5y=155,45x-9y=99$$

ລົບ 45x-9y=99 ອອກຈາກ 45x+5y=155 ໂດຍການລົບພົດອອກຈາກແຕ່ລະຂ້າງຂອງເຄື່ອງໝາຍເທົ່າກັບ.

$$45x-45x+5y+9y=155-99$$

ເພີ່ມ 45x ໃສ່ -45x. ຂໍ້ກຳນົດ 45x ແລະ -45x ຍົກເລີກອອກໄປ, ເຮັດໃຫ້ມີສົມຜົນໜຶ່ງທີ່ມີພຽງຕົວແປດຽວທີ່ສາມາດແກ້ໄດ້.

$$5y+9y=155-99$$

ເພີ່ມ 5y ໃສ່ 9y.

$$14y=155-99$$

ເພີ່ມ 155 ໃສ່ -99.

$$14y=56$$

ຫານທັງສອງຂ້າງດ້ວຍ 14.

$$y=4$$

ການແທນ 4 ສຳລັບ y ໃນ 5x-y=11. ເນື່ອງຈາກຜົນຂອງສົມຜົນມີໜຶ່ງຕົວແປເທົ່ານັ້ນ, ທ່ານສາມາດແກ້ສຳລັບ x ໄດ້ໂດຍກົງ.

$$5x-4=11$$

ເພີ່ມ 4 ໃສ່ທັງສອງດ້ານຂອງສົມຜົນ.

$$5x=15$$

ຫານທັງສອງຂ້າງດ້ວຍ 5.

$$x=3$$

ຕອນນີ້ແກ້ໄຂລະບົບແລ້ວ.

$$x=3,y=4$$