ແກ້ ∫ (from 0 to 4) of (6-(4-sqrt{x})^2) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 4 } ( 6 - ( 4 - \sqrt { x } ) ^ { 2 } ) d x$$

ປະເມີນ

$$-\frac{16}{3}\approx -5,333333333$$

ຂັ້ນຕອນການແກ້

ໃຊ້ທິດສະດີທະວິນາມ \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ເພື່ອຂະຫຍາຍ \left(4-\sqrt{x}\right)^{2}.

$$\int _{0}^{4}6-\left(16-8\sqrt{x}+\left(\sqrt{x}\right)^{2}\right)\mathrm{d}x$$

ຄຳນວນ \sqrt{x} ກຳລັງ 2 ແລະ ໄດ້ x.

$$\int _{0}^{4}6-\left(16-8\sqrt{x}+x\right)\mathrm{d}x$$

ຊອກຫາຄຳກົງກັນຂ້າມຂອງ 16-8\sqrt{x}+x, ຊອກຫາຄຳກົງກັນຂ້າມຂອງແຕ່ລະຄຳ.

$$\int _{0}^{4}6-16+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

ລົບ 16 ອອກຈາກ 6 ເພື່ອໃຫ້ໄດ້ -10.

$$\int _{0}^{4}-10+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

ປະເມີນປະລິພັນຈຳກັດເຂດເສຍກ່ອນ.

$$\int -10+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

ປະສົມປະສານການລວມພົດໂດຍພົດ.

$$\int -10\mathrm{d}x+\int 8\sqrt{x}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x$$

ແຍກຕົວປະກອບຄົງທີ່ອອກໃນແຕ່ລະພົດ.

$$\int -10\mathrm{d}x+8\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

ຊອກຫາສ່ວນປະກອບຂອງ -10 ໂດຍການນຳໃຊ້ຕາຕະລາງຂອງກົດລະບຽບການເຊື່ອມໂຍງທົ່ວໄປ \int a\mathrm{d}x=ax.

$$-10x+8\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

ຂຽນ \sqrt{x} ຄືນໃໝ່ເປັນ x^{\frac{1}{2}}. ຕັ້ງແຕ່ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} ສຳລັບ k\neq -1, ປ່ຽນ \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x ກັບ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. ເຮັດໃຫ້ງ່າຍ. ຄູນ 8 ໃຫ້ກັບ \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}.

$$-10x+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}-\int x\mathrm{d}x$$

ຕັ້ງແຕ່ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} ສຳລັບ k\neq -1, ປ່ຽນ \int x\mathrm{d}x ກັບ \frac{x^{2}}{2}. ຄູນ -1 ໃຫ້ກັບ \frac{x^{2}}{2}.

$$-10x+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

ເຮັດໃຫ້ງ່າຍ.

$$-10x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

ປະລິພັນທີ່ແນ່ນອນຂອງພະຫຸນາມແມ່ນປະຕິຍານຸພັນຂອງພະຫຸນາມທີ່ປະເມີນແລ້ວໃນລະດັບສູງກວ່າຂອງການຮວມລົບໃຫ້ປະຕິຍານຸພັນທີ່ປະເມີນແລ້ວໃນລະດັບຂໍ້ຈຳກັດທີ່ຕ່ຳກວ່າຂອງການລວມກັນ.

$$-10\times 4-\frac{4^{2}}{2}+\frac{16}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}-\left(-10\times 0-\frac{0^{2}}{2}+\frac{16}{3}\times 0^{\frac{3}{2}}\right)$$

ເຮັດໃຫ້ງ່າຍ.

$$-\frac{16}{3}$$