ແກ້ x^2+1/x-4-x^2-1/x+3=23

$$\frac{ { x }^{ 2 } +1 }{ x-4 } - \frac{ { x }^{ 2 } -1 }{ x+3 } = 23$$

ແກ້ສຳລັບ x

$$x = -\frac{55}{16} = -3\frac{7}{16} = -3,4375$$

$$x=5$$

ຂັ້ນຕອນໂດຍໃຊ້ການຫານດ້ວຍການຈັດກຸ່ມ

x ແບບຫຼາກຫຼາຍບໍ່ສາມາດເທົ່າກັບຄ່າໃດຂອງ -3,4 ໄດ້ເນື່ອງຈາກບໍ່ໄດ້ລະບຸການຫານດ້ວຍສູນ. ຄູນສອງຂ້າງຂອງສົມຜົນດ້ວຍ \left(x-4\right)\left(x+3\right), ຕົວຄູນທົ່ວໄປທີ່ໜ້ອຍທີ່ສຸດຂອງ x-4,x+3.

$$\left(x+3\right)\left(x^{2}+1\right)-\left(x-4\right)\left(x^{2}-1\right)=23\left(x-4\right)\left(x+3\right)$$

ໃຊ້ຄຸນສົມບັດການແຈກແຈງເພື່ອຄູນ x+3 ດ້ວຍ x^{2}+1.

$$x^{3}+x+3x^{2}+3-\left(x-4\right)\left(x^{2}-1\right)=23\left(x-4\right)\left(x+3\right)$$

ໃຊ້ຄຸນສົມບັດການແຈກແຈງເພື່ອຄູນ x-4 ດ້ວຍ x^{2}-1.

$$x^{3}+x+3x^{2}+3-\left(x^{3}-x-4x^{2}+4\right)=23\left(x-4\right)\left(x+3\right)$$

ຊອກຫາຄຳກົງກັນຂ້າມຂອງ x^{3}-x-4x^{2}+4, ຊອກຫາຄຳກົງກັນຂ້າມຂອງແຕ່ລະຄຳ.

$$x^{3}+x+3x^{2}+3-x^{3}+x+4x^{2}-4=23\left(x-4\right)\left(x+3\right)$$

ຮວມ x^{3} ແລະ -x^{3} ເພື່ອຮັບ 0.

$$x+3x^{2}+3+x+4x^{2}-4=23\left(x-4\right)\left(x+3\right)$$

ຮວມ x ແລະ x ເພື່ອຮັບ 2x.

$$2x+3x^{2}+3+4x^{2}-4=23\left(x-4\right)\left(x+3\right)$$

ຮວມ 3x^{2} ແລະ 4x^{2} ເພື່ອຮັບ 7x^{2}.

$$2x+7x^{2}+3-4=23\left(x-4\right)\left(x+3\right)$$

ລົບ 4 ອອກຈາກ 3 ເພື່ອໃຫ້ໄດ້ -1.

$$2x+7x^{2}-1=23\left(x-4\right)\left(x+3\right)$$

ໃຊ້ຄຸນສົມບັດການແຈກແຈງເພື່ອຄູນ 23 ດ້ວຍ x-4.

$$2x+7x^{2}-1=\left(23x-92\right)\left(x+3\right)$$

ໃຊ້ຄຸນສົມບັດການແຈກແຈງເພື່ອຄູນ 23x-92 ດ້ວຍ x+3 ແລ້ວຮວມຄຳທີ່ຄ້າຍກັນ.

$$2x+7x^{2}-1=23x^{2}-23x-276$$

ລົບ 23x^{2} ອອກຈາກທັງສອງຂ້າງ.

$$2x+7x^{2}-1-23x^{2}=-23x-276$$

ຮວມ 7x^{2} ແລະ -23x^{2} ເພື່ອຮັບ -16x^{2}.

$$2x-16x^{2}-1=-23x-276$$

ເພີ່ມ 23x ໃສ່ທັງສອງດ້ານ.

$$2x-16x^{2}-1+23x=-276$$

ຮວມ 2x ແລະ 23x ເພື່ອຮັບ 25x.

$$25x-16x^{2}-1=-276$$

ເພີ່ມ 276 ໃສ່ທັງສອງດ້ານ.

$$25x-16x^{2}-1+276=0$$

ເພີ່ມ -1 ແລະ 276 ເພື່ອໃຫ້ໄດ້ 275.

$$25x-16x^{2}+275=0$$

ຈັດຮຽງພະຫຸນາມຄືນໃໝ່ໃຫ້ເປັນຮູບແບບມາດຕະຖານ. ວາງພົດຕາມລຳດັບຈາກສູງສຸດຫາຕ່ຳສຸດ.

$$-16x^{2}+25x+275=0$$

ເພື່ອແກ້ສົມຜົນ, ໃຫ້ຫານທາງຊ້າຍໂດຍການຈັດກຸ່ມ, ທຳອິດ, ທາງຊ້າຍຈະຕ້ອງຂຽນໃໝ່ເປັນ -16x^{2}+ax+bx+275. ເພື່ອຊອກຫາ a ແລະ b, ໃຫ້ຕັ້ງຄ່າລະບົບເພື່ອຖືກແກ້ໄຂ.

$$a+b=25 ab=-16\times 275=-4400$$

ເນື່ອງຈາກ ab ເປັນຄ່າລົບ, a ແລະ b ຈຶ່ງມີສັນຍາລັກກົງກັນຂ້າມ. ເນື່ອງຈາກ a+b ເປັນຄ່າບວກ, ຈຳນວນບວກຈຶ່ງມີຄ່າສົມບູນສູງກວ່າຈຳນວນລົບ. ສ້າງລາຍຊື່ຄູ່ຈຳນວນເຕັມທັງໝົດທີ່ໃຫ້ຜົນ -4400.

$$-1,4400 -2,2200 -4,1100 -5,880 -8,550 -10,440 -11,400 -16,275 -20,220 -22,200 -25,176 -40,110 -44,100 -50,88 -55,80$$

ຄຳນວນຈຳນວນຮວມສຳລັບແຕ່ລະຄູ່.

$$-1+4400=4399 -2+2200=2198 -4+1100=1096 -5+880=875 -8+550=542 -10+440=430 -11+400=389 -16+275=259 -20+220=200 -22+200=178 -25+176=151 -40+110=70 -44+100=56 -50+88=38 -55+80=25$$

ທາງອອກດັ່ງກ່າວເປັນຄູ່ທີ່ໃຫ້ຜົນຮວມ 25.

$$a=80 b=-55$$

ຂຽນ -16x^{2}+25x+275 ຄືນໃໝ່ເປັນ \left(-16x^{2}+80x\right)+\left(-55x+275\right).

$$\left(-16x^{2}+80x\right)+\left(-55x+275\right)$$

ຕົວຫານ 16x ໃນຕອນທຳອິດ ແລະ 55 ໃນກຸ່ມທີສອງ.

$$16x\left(-x+5\right)+55\left(-x+5\right)$$

ແຍກຄຳທົ່ວໄປ -x+5 ໂດຍການໃຊ້ຄຸນສົມບັດການແຈກຢາຍ.

$$\left(-x+5\right)\left(16x+55\right)$$

ເພື່ອຊອກຫາວິທີແກ້ສົມຜົນ, ໃຫ້ແກ້ -x+5=0 ແລະ 16x+55=0.

$$x=5 x=-\frac{55}{16}$$

ຂັ້ນຕອນການໃຊ້ສູດຄຳນວນກຳລັງສອງ

x ແບບຫຼາກຫຼາຍບໍ່ສາມາດເທົ່າກັບຄ່າໃດຂອງ -3,4 ໄດ້ເນື່ອງຈາກບໍ່ໄດ້ລະບຸການຫານດ້ວຍສູນ. ຄູນສອງຂ້າງຂອງສົມຜົນດ້ວຍ \left(x-4\right)\left(x+3\right), ຕົວຄູນທົ່ວໄປທີ່ໜ້ອຍທີ່ສຸດຂອງ x-4,x+3.

$$\left(x+3\right)\left(x^{2}+1\right)-\left(x-4\right)\left(x^{2}-1\right)=23\left(x-4\right)\left(x+3\right)$$

ໃຊ້ຄຸນສົມບັດການແຈກແຈງເພື່ອຄູນ x+3 ດ້ວຍ x^{2}+1.

$$x^{3}+x+3x^{2}+3-\left(x-4\right)\left(x^{2}-1\right)=23\left(x-4\right)\left(x+3\right)$$

ໃຊ້ຄຸນສົມບັດການແຈກແຈງເພື່ອຄູນ x-4 ດ້ວຍ x^{2}-1.

$$x^{3}+x+3x^{2}+3-\left(x^{3}-x-4x^{2}+4\right)=23\left(x-4\right)\left(x+3\right)$$

ຊອກຫາຄຳກົງກັນຂ້າມຂອງ x^{3}-x-4x^{2}+4, ຊອກຫາຄຳກົງກັນຂ້າມຂອງແຕ່ລະຄຳ.

$$x^{3}+x+3x^{2}+3-x^{3}+x+4x^{2}-4=23\left(x-4\right)\left(x+3\right)$$

ຮວມ x^{3} ແລະ -x^{3} ເພື່ອຮັບ 0.

$$x+3x^{2}+3+x+4x^{2}-4=23\left(x-4\right)\left(x+3\right)$$

ຮວມ x ແລະ x ເພື່ອຮັບ 2x.

$$2x+3x^{2}+3+4x^{2}-4=23\left(x-4\right)\left(x+3\right)$$

ຮວມ 3x^{2} ແລະ 4x^{2} ເພື່ອຮັບ 7x^{2}.

$$2x+7x^{2}+3-4=23\left(x-4\right)\left(x+3\right)$$

ລົບ 4 ອອກຈາກ 3 ເພື່ອໃຫ້ໄດ້ -1.

$$2x+7x^{2}-1=23\left(x-4\right)\left(x+3\right)$$

ໃຊ້ຄຸນສົມບັດການແຈກແຈງເພື່ອຄູນ 23 ດ້ວຍ x-4.

$$2x+7x^{2}-1=\left(23x-92\right)\left(x+3\right)$$

ໃຊ້ຄຸນສົມບັດການແຈກແຈງເພື່ອຄູນ 23x-92 ດ້ວຍ x+3 ແລ້ວຮວມຄຳທີ່ຄ້າຍກັນ.

$$2x+7x^{2}-1=23x^{2}-23x-276$$

ລົບ 23x^{2} ອອກຈາກທັງສອງຂ້າງ.

$$2x+7x^{2}-1-23x^{2}=-23x-276$$

ຮວມ 7x^{2} ແລະ -23x^{2} ເພື່ອຮັບ -16x^{2}.

$$2x-16x^{2}-1=-23x-276$$

ເພີ່ມ 23x ໃສ່ທັງສອງດ້ານ.

$$2x-16x^{2}-1+23x=-276$$

ຮວມ 2x ແລະ 23x ເພື່ອຮັບ 25x.

$$25x-16x^{2}-1=-276$$

ເພີ່ມ 276 ໃສ່ທັງສອງດ້ານ.

$$25x-16x^{2}-1+276=0$$

ເພີ່ມ -1 ແລະ 276 ເພື່ອໃຫ້ໄດ້ 275.

$$25x-16x^{2}+275=0$$

ສົມຜົນທັງໝົດຂອງແບບຟອມ ax^{2}+bx+c=0 ສາມາດຖືກແກ້ໄດ້ໂດຍໃຊ້ສູດຄຳນວນສົມຜົນສອງຊັ້ນ: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. ສູດຄຳນວນສົມຜົນສອງຊັ້ນຈະໃຫ້ວິທີແກ້ສອງແບບ, ໜຶ່ງແມ່ນເມື່ອ ± ເປັນການບວກ ແລະ ອີກສອງແມ່ນເມື່ອມັນເປັນການລົບ.

$$-16x^{2}+25x+275=0$$

ສົມຜົນນີ້ແມ່ນຢູ່ໃນຮູບແບບມາດຕະຖານ: ax^{2}+bx+c=0. ການແທນ -16 ສຳລັບ a, 25 ສຳລັບ b ແລະ 275 ສຳລັບ c ໃນສູດຄຳນວນກຳລັງສອງ, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\left(-16\right)\times 275}}{2\left(-16\right)}$$

ຮາກທີ່ສອງຂອງຄ່າສະເລ່ຍ 25.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\left(-16\right)\times 275}}{2\left(-16\right)}$$

ຄູນ -4 ໃຫ້ກັບ -16.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625+64\times 275}}{2\left(-16\right)}$$

ຄູນ 64 ໃຫ້ກັບ 275.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625+17600}}{2\left(-16\right)}$$

ເພີ່ມ 625 ໃສ່ 17600.

$$x=\frac{-25±\sqrt{18225}}{2\left(-16\right)}$$

ເອົາຮາກຂັ້ນສອງຂອງ 18225.

$$x=\frac{-25±135}{2\left(-16\right)}$$

ຄູນ 2 ໃຫ້ກັບ -16.

$$x=\frac{-25±135}{-32}$$

ຕອນນີ້ໃຫ້ແກ້ສົມຜົນ x=\frac{-25±135}{-32} ເມື່ອ ± ບວກ. ເພີ່ມ -25 ໃສ່ 135.

$$x=\frac{110}{-32}$$

ຫຼຸດເສດສ່ວນ \frac{110}{-32} ເປັນຈຳນວນໜ້ອຍສຸດໂດຍແຍກ ແລະ ຍົກເລີກ 2.

$$x=-\frac{55}{16}$$

ຕອນນີ້ໃຫ້ແກ້ສົມຜົນ x=\frac{-25±135}{-32} ເມື່ອ ± ເປັນລົບ. ລົບ 135 ອອກຈາກ -25.

$$x=-\frac{160}{-32}$$

ຫານ -160 ດ້ວຍ -32.

$$x=5$$

ຕອນນີ້ແກ້ໄຂສົມຜົນແລ້ວ.

$$x=-\frac{55}{16} x=5$$

ຂັ້ນຕອນການເຮັດຮາກທີສອງຂອງຄ່າສະເລ່ຍ

x ແບບຫຼາກຫຼາຍບໍ່ສາມາດເທົ່າກັບຄ່າໃດຂອງ -3,4 ໄດ້ເນື່ອງຈາກບໍ່ໄດ້ລະບຸການຫານດ້ວຍສູນ. ຄູນສອງຂ້າງຂອງສົມຜົນດ້ວຍ \left(x-4\right)\left(x+3\right), ຕົວຄູນທົ່ວໄປທີ່ໜ້ອຍທີ່ສຸດຂອງ x-4,x+3.

$$\left(x+3\right)\left(x^{2}+1\right)-\left(x-4\right)\left(x^{2}-1\right)=23\left(x-4\right)\left(x+3\right)$$

ໃຊ້ຄຸນສົມບັດການແຈກແຈງເພື່ອຄູນ x+3 ດ້ວຍ x^{2}+1.

$$x^{3}+x+3x^{2}+3-\left(x-4\right)\left(x^{2}-1\right)=23\left(x-4\right)\left(x+3\right)$$

ໃຊ້ຄຸນສົມບັດການແຈກແຈງເພື່ອຄູນ x-4 ດ້ວຍ x^{2}-1.

$$x^{3}+x+3x^{2}+3-\left(x^{3}-x-4x^{2}+4\right)=23\left(x-4\right)\left(x+3\right)$$

ຊອກຫາຄຳກົງກັນຂ້າມຂອງ x^{3}-x-4x^{2}+4, ຊອກຫາຄຳກົງກັນຂ້າມຂອງແຕ່ລະຄຳ.

$$x^{3}+x+3x^{2}+3-x^{3}+x+4x^{2}-4=23\left(x-4\right)\left(x+3\right)$$

ຮວມ x^{3} ແລະ -x^{3} ເພື່ອຮັບ 0.

$$x+3x^{2}+3+x+4x^{2}-4=23\left(x-4\right)\left(x+3\right)$$

ຮວມ x ແລະ x ເພື່ອຮັບ 2x.

$$2x+3x^{2}+3+4x^{2}-4=23\left(x-4\right)\left(x+3\right)$$

ຮວມ 3x^{2} ແລະ 4x^{2} ເພື່ອຮັບ 7x^{2}.

$$2x+7x^{2}+3-4=23\left(x-4\right)\left(x+3\right)$$

ລົບ 4 ອອກຈາກ 3 ເພື່ອໃຫ້ໄດ້ -1.

$$2x+7x^{2}-1=23\left(x-4\right)\left(x+3\right)$$

ໃຊ້ຄຸນສົມບັດການແຈກແຈງເພື່ອຄູນ 23 ດ້ວຍ x-4.

$$2x+7x^{2}-1=\left(23x-92\right)\left(x+3\right)$$

ໃຊ້ຄຸນສົມບັດການແຈກແຈງເພື່ອຄູນ 23x-92 ດ້ວຍ x+3 ແລ້ວຮວມຄຳທີ່ຄ້າຍກັນ.

$$2x+7x^{2}-1=23x^{2}-23x-276$$

ລົບ 23x^{2} ອອກຈາກທັງສອງຂ້າງ.

$$2x+7x^{2}-1-23x^{2}=-23x-276$$

ຮວມ 7x^{2} ແລະ -23x^{2} ເພື່ອຮັບ -16x^{2}.

$$2x-16x^{2}-1=-23x-276$$

ເພີ່ມ 23x ໃສ່ທັງສອງດ້ານ.

$$2x-16x^{2}-1+23x=-276$$

ຮວມ 2x ແລະ 23x ເພື່ອຮັບ 25x.

$$25x-16x^{2}-1=-276$$

ເພີ່ມ 1 ໃສ່ທັງສອງດ້ານ.

$$25x-16x^{2}=-276+1$$

ເພີ່ມ -276 ແລະ 1 ເພື່ອໃຫ້ໄດ້ -275.

$$25x-16x^{2}=-275$$

ສົມຜົນກຳລັງສອງແບບນີ້ສາມາດແກ້ໄດ້ໂດຍການເຮັດຮາກໃຫ້ສຳເລັດ. ເພື່ອສຳເລັດການເຮັດຮາກ, ສົມຜົນຈະຕ້ອງຢູ່ໃນຮູບແບບ x^{2}+bx=c ກ່ອນ.

$$-16x^{2}+25x=-275$$

ຫານທັງສອງຂ້າງດ້ວຍ -16.

$$\frac{-16x^{2}+25x}{-16}=-\frac{275}{-16}$$

ການຫານດ້ວຍ -16 ຈະຍົກເລີກການຄູນດ້ວຍ -16.

$$x^{2}+\frac{25}{-16}x=-\frac{275}{-16}$$

ຫານ 25 ດ້ວຍ -16.

$$x^{2}-\frac{25}{16}x=-\frac{275}{-16}$$

ຫານ -275 ດ້ວຍ -16.

$$x^{2}-\frac{25}{16}x=\frac{275}{16}$$

ຫານ -\frac{25}{16}, ຄ່າສຳປະສິດຂອງ x ດ້ວຍ 2 ເພື່ອໃຫ້ໄດ້ -\frac{25}{32}. ຈາກນັ້ນເພີ່ມຮາກຂອງ -\frac{25}{32} ໃສ່ທັງສອງຂ້າງຂອງສົມຜົນ. ຂັ້ນຕອນນີ້ຈະເຮັດໃຫ້ຂ້າງຊ້າຍຂອງສົມຜົນເປັນຮາກສົມບູນ.

$$x^{2}-\frac{25}{16}x+\left(-\frac{25}{32}\right)^{2}=\frac{275}{16}+\left(-\frac{25}{32}\right)^{2}$$

ຮາກທີສອງຂອງຄ່າສະເລ່ຍ -\frac{25}{32} ໂດຍຮາກທີສອງຂອງທັງຕົວສເສດ ແລະ ຕົວຫານຂອງເສດສ່ວນ.

$$x^{2}-\frac{25}{16}x+\frac{625}{1024}=\frac{275}{16}+\frac{625}{1024}$$

ເພີ່ມ \frac{275}{16} ໃສ່ \frac{625}{1024} ໂດຍການຊອກຫາຕົວຫານທົ່ວໄປ ແລະ ການເພີ່ມຕົວເສດ. ຈາກນັ້ນ, ຫຼຸດເສດສ່ວນເປັນຈຳນວນໜ້ອຍທີ່ສຸດຫາກເປັນໄປໄດ້.

$$x^{2}-\frac{25}{16}x+\frac{625}{1024}=\frac{18225}{1024}$$

ຕົວປະກອບ x^{2}-\frac{25}{16}x+\frac{625}{1024}. ໃນທົ່ວໄປ, ເມື່ອ x^{2}+bx+c ເປັນຮາກສົມບູນ, ມັນສາມາດເປັນຕົວປະກອບ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ໄດ້ສະເໝີ.

$$\left(x-\frac{25}{32}\right)^{2}=\frac{18225}{1024}$$

ເອົາຮາກຂັ້ນສອງຂອງທັງສອງຂ້າງຂອງສົມຜົນ.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{32}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18225}{1024}}$$

ເຮັດໃຫ້ງ່າຍ.

$$x-\frac{25}{32}=\frac{135}{32} x-\frac{25}{32}=-\frac{135}{32}$$

ເພີ່ມ \frac{25}{32} ໃສ່ທັງສອງດ້ານຂອງສົມຜົນ.

$$x=5 x=-\frac{55}{16}$$