सोडोवचें 3n^2+3n+1=1141

$$3 n ^ { 2 } + 3 n + 1 = 1141$$

n खातीर सोडोवचें

$$n=-20$$

$$n=19$$

गट करून फॅक्टरींक वापरून कृती

दोनूय कुशींतल्यान 1141 वजा करचें.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

-1140 मेळोवंक 1 आनी 1141 वजा करचे.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$n^{2}+n-380=0$$

गणीत सोडोवंक, गट करून दाव्या हातान घटक. पयलीं, दावी बाजू n^{2}+an+bn-380 म्हूण परत बरोवंक जाय आसा. a आनी b मेळोवंक, सोडोवंक यंत्रणां मांडची.

$$a+b=1 ab=1\left(-380\right)=-380$$

ab नकारात्मक आसा देखून, a आनी b क विरूध्द चिन्हां आसात. a+b सकारात्मक आसा, सकारात्मक संख्येक नकारात्मक संख्येच्या परस चड निव्वळ मोल आसता. गुणक दिवपी तत्सम जोडयांची सुची -380.

$$-1,380 -2,190 -4,95 -5,76 -10,38 -19,20$$

दरेक जोडयेखातीर गणीत मेजचें.

$$-1+380=379 -2+190=188 -4+95=91 -5+76=71 -10+38=28 -19+20=1$$

जोडयेचें उत्तर जें दिता गणीत 1.

$$a=-19 b=20$$

n^{2}+n-380 हें \left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right) बरोवचें.

$$\left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)$$

पयल्यात nफॅक्टर आवट आनी 20 दुस-या गटात.

$$n\left(n-19\right)+20\left(n-19\right)$$

फॅक्टर आवट सामान्य शब्द n-19 वितरीत गूणधर्म वापरून.

$$\left(n-19\right)\left(n+20\right)$$

गणीताचें उत्तर सोदूंक, सोडोवचें n-19=0 आनी n+20=0.

$$n=19 n=-20$$

क्वॉड्रेटिक सिध्दांत वापरून पांवडे

फॉर्म ax^{2}+bx+c=0 चीं सगळीं समिकरणां क्वॉड्रेटिक सिध्दांत: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} वापरून सोडोवंक शकतात. क्वॉड्रेटिक सिध्दांत दोन सोडोवणी दितात, एक जेन्ना ± बेरीज आसा आनी एक जेन्ना ती वजा आसता.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 1141 वजा करचें.

$$3n^{2}+3n+1-1141=1141-1141$$

तातूंतल्यानूच 1141 वजा केल्यार 0 उरता.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

1 तल्यान 1141 वजा करची.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

हें समिकरण प्रमाणित पद्दतीन आसा: ax^{2}+bx+c=0. क्वॉड्रेटिक सिध्दांत \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} त a खातीर 3, b खातीर 3 आनी c खातीर -1140 बदली घेवचे.

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

3 वर्गमूळ.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

3क -4 फावटी गुणचें.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

-1140क -12 फावटी गुणचें.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+13680}}{2\times 3}$$

13680 कडेन 9 ची बेरीज करची.

$$n=\frac{-3±\sqrt{13689}}{2\times 3}$$

13689 चें वर्गमूळ घेवचें.

$$n=\frac{-3±117}{2\times 3}$$

3क 2 फावटी गुणचें.

$$n=\frac{-3±117}{6}$$

जेन्ना ± अदीक आस्ता तेन्ना समिकरण n=\frac{-3±117}{6} सोडोवचें. 117 कडेन -3 ची बेरीज करची.

$$n=\frac{114}{6}$$

6 न114 क भाग लावचो.

$$n=19$$

जेन्ना ± वजा आस्ता तेन्ना समिकरण n=\frac{-3±117}{6} सोडोवचें. -3 तल्यान 117 वजा करची.

$$n=-\frac{120}{6}$$

6 न-120 क भाग लावचो.

$$n=-20$$

समिकरण आतां सुटावें जालें.

$$n=19 n=-20$$

वर्ग पुराय करूंक पांवडे

ह्या सारकें क्वॉड्रेटिक समिकरण वर्ग पुराय करून सोडोवंक शकतात. वर्ग पुराय करूंक, समिकरण x^{2}+bx=c स्वरूपांत आसूंक जाय.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 1 वजा करचें.

$$3n^{2}+3n+1-1=1141-1$$

तातूंतल्यानूच 1 वजा केल्यार 0 उरता.

$$3n^{2}+3n=1141-1$$

1141 तल्यान 1 वजा करची.

$$3n^{2}+3n=1140$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$\frac{3n^{2}+3n}{3}=\frac{1140}{3}$$

3 वरवीं भागाकार केल्यार 3 वरवीं केल्लो गुणाकार काडटा.

$$n^{2}+\frac{3}{3}n=\frac{1140}{3}$$

3 न3 क भाग लावचो.

$$n^{2}+n=\frac{1140}{3}$$

3 न1140 क भाग लावचो.

$$n^{2}+n=380$$

\frac{1}{2} मेळपा खातीर 2 न x संज्ञेचो कोऐफिशियंट आशिल्लो 1 क भाग लावचो. मागीर समिकरणाच्या दोनूय कुशींनी \frac{1}{2} च्या वर्गाची बेरीज करची. हो पांवडो समिकरणाचे दावे कुशीक एक जुस्त वर्ग करता.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=380+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

अपूर्णांकांचो गणक आनी भाजक हांकां दोनांकूय वर्गमूळ लावन \frac{1}{2} क वर्गमूळ लावचें.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=380+\frac{1}{4}$$

\frac{1}{4} कडेन 380 ची बेरीज करची.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{1521}{4}$$

गुणकपद n^{2}+n+\frac{1}{4}. सामान्यपणान, जेन्नाx^{2}+bx+c अचूक वर्ग आसात, तो सदांच\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}गुणकपद करूं येता.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1521}{4}$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींनी वर्गमूळ काडचो.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{4}}$$

सोंपें करचें.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{39}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{39}{2}$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{1}{2} वजा करचें.

$$n=19 n=-20$$