सोडोवचें {l}{x-2y=5}{3x-y=10}

$$\left.\begin{array} { l } { x - 2 y = 5 } \\ { 3 x - y = 10 } \end{array} \right\}$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=3$$

$$y=-1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x-2y=5,3x-y=10$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x-2y=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y ची बेरीज करची.

$$x=2y+5$$

3x-y=10 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर 2y+5 बदलपी घेवचो.

$$3\left(2y+5\right)-y=10$$

2y+5क 3 फावटी गुणचें.

$$6y+15-y=10$$

-y कडेन 6y ची बेरीज करची.

$$5y+15=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 15 वजा करचें.

$$5y=-5$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$y=-1$$

x=2y+5 त y खातीर -1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=2\left(-1\right)+5$$

-1क 2 फावटी गुणचें.

$$x=-2+5$$

-2 कडेन 5 ची बेरीज करची.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=-1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x-2y=5,3x-y=10$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{-1-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{-1-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{-1-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{5}\times 10\\-\frac{3}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=3,y=-1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x-2y=5,3x-y=10$$

x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$3x+3\left(-2\right)y=3\times 5,3x-y=10$$

सोंपें करचें.

$$3x-6y=15,3x-y=10$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 3x-6y=15 तल्यान 3x-y=10 वजा करचो.

$$3x-3x-6y+y=15-10$$

-3x कडेन 3x ची बेरीज करची. अटी 3x आनी -3x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-6y+y=15-10$$

y कडेन -6y ची बेरीज करची.

$$-5y=15-10$$

-10 कडेन 15 ची बेरीज करची.

$$-5y=5$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$y=-1$$

3x-y=10 त y खातीर -1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x-\left(-1\right)=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 1 वजा करचें.

$$3x=9$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=-1$$