सोडोवचें {l}{7x+2y=-33}{x+9y=65}

$$\left. \begin{array}{l}{ 7 x + 2 y = - 33 }\\{ x + 9 y = 65 }\end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-7$$

$$y=8$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$7x+2y=-33,x+9y=65$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$7x+2y=-33$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$7x=-2y-33$$

दोनुय कुशींक 7 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y-33\right)$$

-2y-33क \frac{1}{7} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{2}{7}y-\frac{33}{7}$$

x+9y=65 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-2y-33}{7} बदलपी घेवचो.

$$-\frac{2}{7}y-\frac{33}{7}+9y=65$$

9y कडेन -\frac{2y}{7} ची बेरीज करची.

$$\frac{61}{7}y-\frac{33}{7}=65$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{33}{7} ची बेरीज करची.

$$\frac{61}{7}y=\frac{488}{7}$$

\frac{61}{7} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=8$$

x=-\frac{2}{7}y-\frac{33}{7} त y खातीर 8 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{2}{7}\times 8-\frac{33}{7}$$

8क -\frac{2}{7} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-16-33}{7}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{16}{7} क -\frac{33}{7} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-7$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-7,y=8$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$7x+2y=-33,x+9y=65$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{7\times 9-2}&-\frac{2}{7\times 9-2}\\-\frac{1}{7\times 9-2}&\frac{7}{7\times 9-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{61}&-\frac{2}{61}\\-\frac{1}{61}&\frac{7}{61}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{61}\left(-33\right)-\frac{2}{61}\times 65\\-\frac{1}{61}\left(-33\right)+\frac{7}{61}\times 65\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-7,y=8$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$7x+2y=-33,x+9y=65$$

7x आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 7 न गुणचें.

$$7x+2y=-33,7x+7\times 9y=7\times 65$$

सोंपें करचें.

$$7x+2y=-33,7x+63y=455$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 7x+2y=-33 तल्यान 7x+63y=455 वजा करचो.

$$7x-7x+2y-63y=-33-455$$

-7x कडेन 7x ची बेरीज करची. अटी 7x आनी -7x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$2y-63y=-33-455$$

-63y कडेन 2y ची बेरीज करची.

$$-61y=-33-455$$

-455 कडेन -33 ची बेरीज करची.

$$-61y=-488$$

दोनुय कुशींक -61 न भाग लावचो.

$$y=8$$

x+9y=65 त y खातीर 8 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x+9\times 8=65$$

8क 9 फावटी गुणचें.

$$x+72=65$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 72 वजा करचें.

$$x=-7$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-7,y=8$$