सोडोवचें {l}{2x+2y=10}{-2x+4y=-4}

$$\left. \begin{array}{l}{ 2 x + 2 y = 10 }\\{ - 2 x + 4 y = - 4 }\end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=4$$

$$y=1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+2y=10,-2x+4y=-4$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+2y=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$2x=-2y+10$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+10\right)$$

-2y+10क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-y+5$$

-2x+4y=-4 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -y+5 बदलपी घेवचो.

$$-2\left(-y+5\right)+4y=-4$$

-y+5क -2 फावटी गुणचें.

$$2y-10+4y=-4$$

4y कडेन 2y ची बेरीज करची.

$$6y-10=-4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 10 ची बेरीज करची.

$$6y=6$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$y=1$$

x=-y+5 त y खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-1+5$$

-1 कडेन 5 ची बेरीज करची.

$$x=4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=4,y=1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+2y=10,-2x+4y=-4$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&2\\-2&4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{2\times 4-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 4-2\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 4-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 10-\frac{1}{6}\left(-4\right)\\\frac{1}{6}\times 10+\frac{1}{6}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=4,y=1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+2y=10,-2x+4y=-4$$

2x आनी -2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$-2\times 2x-2\times 2y=-2\times 10,2\left(-2\right)x+2\times 4y=2\left(-4\right)$$

सोंपें करचें.

$$-4x-4y=-20,-4x+8y=-8$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -4x-4y=-20 तल्यान -4x+8y=-8 वजा करचो.

$$-4x+4x-4y-8y=-20+8$$

4x कडेन -4x ची बेरीज करची. अटी -4x आनी 4x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-4y-8y=-20+8$$

-8y कडेन -4y ची बेरीज करची.

$$-12y=-20+8$$

8 कडेन -20 ची बेरीज करची.

$$-12y=-12$$

दोनुय कुशींक -12 न भाग लावचो.

$$y=1$$

-2x+4y=-4 त y खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-2x+4=-4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4 वजा करचें.

$$-2x=-8$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$x=4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=4,y=1$$