सोडोवचें {r}{-v+2d=-10}{d+3v=9}

$$\left. \begin{array} { r } { - v + 2 d = - 10 } \\ { d + 3 v = 9 } \end{array} \right.$$

v, d खातीर सोडोवचें

$$v=4$$

$$d=-3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-v+2d=-10,3v+d=9$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक v वेगळावन v खातीर तें सोडोवचें.

$$-v+2d=-10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2d वजा करचें.

$$-v=-2d-10$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$v=-\left(-2d-10\right)$$

-2d-10क -1 फावटी गुणचें.

$$v=2d+10$$

3v+d=9 ह्या दुस-या समिकरणांत v खातीर 10+2d बदलपी घेवचो.

$$3\left(2d+10\right)+d=9$$

10+2dक 3 फावटी गुणचें.

$$6d+30+d=9$$

d कडेन 6d ची बेरीज करची.

$$7d+30=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 30 वजा करचें.

$$7d=-21$$

दोनुय कुशींक 7 न भाग लावचो.

$$d=-3$$

v=2d+10 त d खातीर -3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी v खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$v=2\left(-3\right)+10$$

-3क 2 फावटी गुणचें.

$$v=-6+10$$

-6 कडेन 10 ची बेरीज करची.

$$v=4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$v=4,d=-3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-v+2d=-10,3v+d=9$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\9\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-2\times 3}&-\frac{2}{-1-2\times 3}\\-\frac{3}{-1-2\times 3}&-\frac{1}{-1-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\9\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\left(-10\right)+\frac{2}{7}\times 9\\\frac{3}{7}\left(-10\right)+\frac{1}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां v आनी d काडचीं.

$$v=4,d=-3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-v+2d=-10,3v+d=9$$

-v आनी 3v बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -1 न गुणचें.

$$3\left(-1\right)v+3\times 2d=3\left(-10\right),-3v-d=-9$$

सोंपें करचें.

$$-3v+6d=-30,-3v-d=-9$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -3v+6d=-30 तल्यान -3v-d=-9 वजा करचो.

$$-3v+3v+6d+d=-30+9$$

3v कडेन -3v ची बेरीज करची. अटी -3v आनी 3v रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$6d+d=-30+9$$

d कडेन 6d ची बेरीज करची.

$$7d=-30+9$$

9 कडेन -30 ची बेरीज करची.

$$7d=-21$$

दोनुय कुशींक 7 न भाग लावचो.

$$d=-3$$

3v+d=9 त d खातीर -3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी v खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3v-3=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3 ची बेरीज करची.

$$3v=12$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$v=4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$v=4,d=-3$$