सोडोवचें {l}{y=6x}{x+y+y=315.9}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 6 x } \\ { x + y + y = 315.9 } \end{array} \right.$$

y, x खातीर सोडोवचें

$$x=24.3$$

$$y=145.8$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 6x वजा करचें.

$$y-6x=0$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 2y मेळोवंक y आनी y एकठांय करचें.

$$x+2y=315.9$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक y वेगळावन y खातीर तें सोडोवचें.

$$y-6x=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6x ची बेरीज करची.

$$y=6x$$

2y+x=315.9 ह्या दुस-या समिकरणांत y खातीर 6x बदलपी घेवचो.

$$2\times 6x+x=315.9$$

6xक 2 फावटी गुणचें.

$$12x+x=315.9$$

x कडेन 12x ची बेरीज करची.

$$13x=315.9$$

दोनुय कुशींक 13 न भाग लावचो.

$$x=24.3$$

y=6x त x खातीर 24.3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$y=6\times 24.3$$

24.3क 6 फावटी गुणचें.

$$y=145.8$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=145.8,x=24.3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 6x वजा करचें.

$$y-6x=0$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 2y मेळोवंक y आनी y एकठांय करचें.

$$x+2y=315.9$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-6\times 2\right)}&-\frac{-6}{1-\left(-6\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-6\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-6\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{6}{13}\\-\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{13}\times 315.9\\\frac{1}{13}\times 315.9\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{729}{5}\\\frac{243}{10}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां y आनी x काडचीं.

$$y=\frac{729}{5},x=\frac{243}{10}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 6x वजा करचें.

$$y-6x=0$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 2y मेळोवंक y आनी y एकठांय करचें.

$$x+2y=315.9$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

y आनी 2y बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$2y+2\left(-6\right)x=0,2y+x=315.9$$

सोंपें करचें.

$$2y-12x=0,2y+x=315.9$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2y-12x=0 तल्यान 2y+x=315.9 वजा करचो.

$$2y-2y-12x-x=-315.9$$

-2y कडेन 2y ची बेरीज करची. अटी 2y आनी -2y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-12x-x=-315.9$$

-x कडेन -12x ची बेरीज करची.

$$-13x=-315.9$$

दोनुय कुशींक -13 न भाग लावचो.

$$x=\frac{243}{10}$$

2y+x=315.9 त x खातीर \frac{243}{10} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2y+\frac{243}{10}=315.9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{243}{10} वजा करचें.

$$2y=\frac{1458}{5}$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$y=\frac{729}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=\frac{729}{5},x=\frac{243}{10}$$