सोडोवचें {l}{x-y=7}{y=2x-12}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 7 } \\ { y = 2 x - 12 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=5$$

$$y=-2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 2x वजा करचें.

$$y-2x=-12$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x-y=7,-2x+y=-12$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x-y=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y ची बेरीज करची.

$$x=y+7$$

-2x+y=-12 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर y+7 बदलपी घेवचो.

$$-2\left(y+7\right)+y=-12$$

y+7क -2 फावटी गुणचें.

$$-2y-14+y=-12$$

y कडेन -2y ची बेरीज करची.

$$-y-14=-12$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 14 ची बेरीज करची.

$$-y=2$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$y=-2$$

x=y+7 त y खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-2+7$$

-2 कडेन 7 ची बेरीज करची.

$$x=5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=5,y=-2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 2x वजा करचें.

$$y-2x=-12$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x-y=7,-2x+y=-12$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-12\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-12\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7-\left(-12\right)\\-2\times 7-\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=5,y=-2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 2x वजा करचें.

$$y-2x=-12$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x-y=7,-2x+y=-12$$

x आनी -2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$-2x-2\left(-1\right)y=-2\times 7,-2x+y=-12$$

सोंपें करचें.

$$-2x+2y=-14,-2x+y=-12$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -2x+2y=-14 तल्यान -2x+y=-12 वजा करचो.

$$-2x+2x+2y-y=-14+12$$

2x कडेन -2x ची बेरीज करची. अटी -2x आनी 2x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$2y-y=-14+12$$

-y कडेन 2y ची बेरीज करची.

$$y=-14+12$$

12 कडेन -14 ची बेरीज करची.

$$y=-2$$

-2x+y=-12 त y खातीर -2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-2x-2=-12$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2 ची बेरीज करची.

$$-2x=-10$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$x=5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=5,y=-2$$