सोडोवचें {l}{x+y=10}{3x+5y=100}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 10 } \\ { 3 x + 5 y = 100 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-25$$

$$y=35$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x+y=10,3x+5y=100$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x+y=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$x=-y+10$$

3x+5y=100 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -y+10 बदलपी घेवचो.

$$3\left(-y+10\right)+5y=100$$

-y+10क 3 फावटी गुणचें.

$$-3y+30+5y=100$$

5y कडेन -3y ची बेरीज करची.

$$2y+30=100$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 30 वजा करचें.

$$2y=70$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$y=35$$

x=-y+10 त y खातीर 35 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-35+10$$

-35 कडेन 10 ची बेरीज करची.

$$x=-25$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-25,y=35$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x+y=10,3x+5y=100$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\100\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\3&5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\100\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\100\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\100\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-3}&-\frac{1}{5-3}\\-\frac{3}{5-3}&\frac{1}{5-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\100\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\100\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\times 10-\frac{1}{2}\times 100\\-\frac{3}{2}\times 10+\frac{1}{2}\times 100\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25\\35\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-25,y=35$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x+y=10,3x+5y=100$$

x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$3x+3y=3\times 10,3x+5y=100$$

सोंपें करचें.

$$3x+3y=30,3x+5y=100$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 3x+3y=30 तल्यान 3x+5y=100 वजा करचो.

$$3x-3x+3y-5y=30-100$$

-3x कडेन 3x ची बेरीज करची. अटी 3x आनी -3x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$3y-5y=30-100$$

-5y कडेन 3y ची बेरीज करची.

$$-2y=30-100$$

-100 कडेन 30 ची बेरीज करची.

$$-2y=-70$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$y=35$$

3x+5y=100 त y खातीर 35 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x+5\times 35=100$$

35क 5 फावटी गुणचें.

$$3x+175=100$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 175 वजा करचें.

$$3x=-75$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=-25$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-25,y=35$$