सोडोवचें {l}{9v+2w=7}{3v-8w=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 v + 2 w = 7 } \\ { 3 v - 8 w = - 2 } \end{array} \right.$$

v, w खातीर सोडोवचें

$$v=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$w=\frac{1}{2}=0.5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक v वेगळावन v खातीर तें सोडोवचें.

$$9v+2w=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2w वजा करचें.

$$9v=-2w+7$$

दोनुय कुशींक 9 न भाग लावचो.

$$v=\frac{1}{9}\left(-2w+7\right)$$

-2w+7क \frac{1}{9} फावटी गुणचें.

$$v=-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}$$

3v-8w=-2 ह्या दुस-या समिकरणांत v खातीर \frac{-2w+7}{9} बदलपी घेवचो.

$$3\left(-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}\right)-8w=-2$$

\frac{-2w+7}{9}क 3 फावटी गुणचें.

$$-\frac{2}{3}w+\frac{7}{3}-8w=-2$$

-8w कडेन -\frac{2w}{3} ची बेरीज करची.

$$-\frac{26}{3}w+\frac{7}{3}=-2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{7}{3} वजा करचें.

$$-\frac{26}{3}w=-\frac{13}{3}$$

-\frac{26}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$w=\frac{1}{2}$$

v=-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9} त w खातीर \frac{1}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी v खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$v=-\frac{2}{9}\times \frac{1}{2}+\frac{7}{9}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{1}{2} क -\frac{2}{9} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$v=\frac{-1+7}{9}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{1}{9} क \frac{7}{9} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$v=\frac{2}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{9\left(-8\right)-2\times 3}&-\frac{2}{9\left(-8\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{9\left(-8\right)-2\times 3}&\frac{9}{9\left(-8\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&\frac{1}{39}\\\frac{1}{26}&-\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 7+\frac{1}{39}\left(-2\right)\\\frac{1}{26}\times 7-\frac{3}{26}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां v आनी w काडचीं.

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

9v आनी 3v बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 9 न गुणचें.

$$3\times 9v+3\times 2w=3\times 7,9\times 3v+9\left(-8\right)w=9\left(-2\right)$$

सोंपें करचें.

$$27v+6w=21,27v-72w=-18$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 27v+6w=21 तल्यान 27v-72w=-18 वजा करचो.

$$27v-27v+6w+72w=21+18$$

-27v कडेन 27v ची बेरीज करची. अटी 27v आनी -27v रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$6w+72w=21+18$$

72w कडेन 6w ची बेरीज करची.

$$78w=21+18$$

18 कडेन 21 ची बेरीज करची.

$$78w=39$$

दोनुय कुशींक 78 न भाग लावचो.

$$w=\frac{1}{2}$$

3v-8w=-2 त w खातीर \frac{1}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी v खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3v-8\times \frac{1}{2}=-2$$

\frac{1}{2}क -8 फावटी गुणचें.

$$3v-4=-2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4 ची बेरीज करची.

$$3v=2$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$v=\frac{2}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$