सोडोवचें {l}{6x-6y=-30}{-10x+6y=22}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x - 6 y = - 30 } \\ { - 10 x + 6 y = 22 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=2$$

$$y=7$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$6x-6y=-30,-10x+6y=22$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$6x-6y=-30$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6y ची बेरीज करची.

$$6x=6y-30$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{6}\left(6y-30\right)$$

-30+6yक \frac{1}{6} फावटी गुणचें.

$$x=y-5$$

-10x+6y=22 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर y-5 बदलपी घेवचो.

$$-10\left(y-5\right)+6y=22$$

y-5क -10 फावटी गुणचें.

$$-10y+50+6y=22$$

6y कडेन -10y ची बेरीज करची.

$$-4y+50=22$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 50 वजा करचें.

$$-4y=-28$$

दोनुय कुशींक -4 न भाग लावचो.

$$y=7$$

x=y-5 त y खातीर 7 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=7-5$$

7 कडेन -5 ची बेरीज करची.

$$x=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=2,y=7$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$6x-6y=-30,-10x+6y=22$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-\left(-6\left(-10\right)\right)}&-\frac{-6}{6\times 6-\left(-6\left(-10\right)\right)}\\-\frac{-10}{6\times 6-\left(-6\left(-10\right)\right)}&\frac{6}{6\times 6-\left(-6\left(-10\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{5}{12}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-30\right)-\frac{1}{4}\times 22\\-\frac{5}{12}\left(-30\right)-\frac{1}{4}\times 22\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=2,y=7$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$6x-6y=-30,-10x+6y=22$$

6x आनी -10x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -10 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6 न गुणचें.

$$-10\times 6x-10\left(-6\right)y=-10\left(-30\right),6\left(-10\right)x+6\times 6y=6\times 22$$

सोंपें करचें.

$$-60x+60y=300,-60x+36y=132$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -60x+60y=300 तल्यान -60x+36y=132 वजा करचो.

$$-60x+60x+60y-36y=300-132$$

60x कडेन -60x ची बेरीज करची. अटी -60x आनी 60x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$60y-36y=300-132$$

-36y कडेन 60y ची बेरीज करची.

$$24y=300-132$$

-132 कडेन 300 ची बेरीज करची.

$$24y=168$$

दोनुय कुशींक 24 न भाग लावचो.

$$y=7$$

-10x+6y=22 त y खातीर 7 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-10x+6\times 7=22$$

7क 6 फावटी गुणचें.

$$-10x+42=22$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 42 वजा करचें.

$$-10x=-20$$

दोनुय कुशींक -10 न भाग लावचो.

$$x=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=2,y=7$$