सोडोवचें {l}{6x+8y=6}{2y+3x=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 8 y = 6 } \\ { 2 y + 3 x = 9 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=5$$

$$y=-3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$6x+8y=6,3x+2y=9$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$6x+8y=6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 8y वजा करचें.

$$6x=-8y+6$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{6}\left(-8y+6\right)$$

-8y+6क \frac{1}{6} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{4}{3}y+1$$

3x+2y=9 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{4y}{3}+1 बदलपी घेवचो.

$$3\left(-\frac{4}{3}y+1\right)+2y=9$$

-\frac{4y}{3}+1क 3 फावटी गुणचें.

$$-4y+3+2y=9$$

2y कडेन -4y ची बेरीज करची.

$$-2y+3=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3 वजा करचें.

$$-2y=6$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$y=-3$$

x=-\frac{4}{3}y+1 त y खातीर -3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-3\right)+1$$

-3क -\frac{4}{3} फावटी गुणचें.

$$x=4+1$$

4 कडेन 1 ची बेरीज करची.

$$x=5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=5,y=-3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$6x+8y=6,3x+2y=9$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}6&8\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&8\\3&2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&8\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{6\times 2-8\times 3}&-\frac{8}{6\times 2-8\times 3}\\-\frac{3}{6\times 2-8\times 3}&\frac{6}{6\times 2-8\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 6+\frac{2}{3}\times 9\\\frac{1}{4}\times 6-\frac{1}{2}\times 9\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=5,y=-3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$6x+8y=6,3x+2y=9$$

6x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6 न गुणचें.

$$3\times 6x+3\times 8y=3\times 6,6\times 3x+6\times 2y=6\times 9$$

सोंपें करचें.

$$18x+24y=18,18x+12y=54$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 18x+24y=18 तल्यान 18x+12y=54 वजा करचो.

$$18x-18x+24y-12y=18-54$$

-18x कडेन 18x ची बेरीज करची. अटी 18x आनी -18x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$24y-12y=18-54$$

-12y कडेन 24y ची बेरीज करची.

$$12y=18-54$$

-54 कडेन 18 ची बेरीज करची.

$$12y=-36$$

दोनुय कुशींक 12 न भाग लावचो.

$$y=-3$$

3x+2y=9 त y खातीर -3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x+2\left(-3\right)=9$$

-3क 2 फावटी गुणचें.

$$3x-6=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6 ची बेरीज करची.

$$3x=15$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=5,y=-3$$