सोडोवचें {l}{5x-3y=18}{2x+y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 18 } \\ { 2 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=3$$

$$y=-1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x-3y=18,2x+y=5$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x-3y=18$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y ची बेरीज करची.

$$5x=3y+18$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+18\right)$$

18+3yक \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{18}{5}$$

2x+y=5 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{18+3y}{5} बदलपी घेवचो.

$$2\left(\frac{3}{5}y+\frac{18}{5}\right)+y=5$$

\frac{18+3y}{5}क 2 फावटी गुणचें.

$$\frac{6}{5}y+\frac{36}{5}+y=5$$

y कडेन \frac{6y}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{11}{5}y+\frac{36}{5}=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{36}{5} वजा करचें.

$$\frac{11}{5}y=-\frac{11}{5}$$

\frac{11}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-1$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{18}{5} त y खातीर -1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{3}{5}\left(-1\right)+\frac{18}{5}$$

-1क \frac{3}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-3+18}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{3}{5} क \frac{18}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=-1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x-3y=18,2x+y=5$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-3\\2&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\5\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{5-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{5-\left(-3\times 2\right)}&\frac{5}{5-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\\-\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 18+\frac{3}{11}\times 5\\-\frac{2}{11}\times 18+\frac{5}{11}\times 5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=3,y=-1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x-3y=18,2x+y=5$$

5x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$2\times 5x+2\left(-3\right)y=2\times 18,5\times 2x+5y=5\times 5$$

सोंपें करचें.

$$10x-6y=36,10x+5y=25$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 10x-6y=36 तल्यान 10x+5y=25 वजा करचो.

$$10x-10x-6y-5y=36-25$$

-10x कडेन 10x ची बेरीज करची. अटी 10x आनी -10x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-6y-5y=36-25$$

-5y कडेन -6y ची बेरीज करची.

$$-11y=36-25$$

-25 कडेन 36 ची बेरीज करची.

$$-11y=11$$

दोनुय कुशींक -11 न भाग लावचो.

$$y=-1$$

2x+y=5 त y खातीर -1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x-1=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 1 ची बेरीज करची.

$$2x=6$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=-1$$