सोडोवचें {l}{5x+4y=8}{2x-3y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 4 y = 8 } \\ { 2 x - 3 y = 17 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=4$$

$$y=-3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x+4y=8,2x-3y=17$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x+4y=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4y वजा करचें.

$$5x=-4y+8$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y+8\right)$$

-4y+8क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{4}{5}y+\frac{8}{5}$$

2x-3y=17 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-4y+8}{5} बदलपी घेवचो.

$$2\left(-\frac{4}{5}y+\frac{8}{5}\right)-3y=17$$

\frac{-4y+8}{5}क 2 फावटी गुणचें.

$$-\frac{8}{5}y+\frac{16}{5}-3y=17$$

-3y कडेन -\frac{8y}{5} ची बेरीज करची.

$$-\frac{23}{5}y+\frac{16}{5}=17$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{16}{5} वजा करचें.

$$-\frac{23}{5}y=\frac{69}{5}$$

-\frac{23}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-3$$

x=-\frac{4}{5}y+\frac{8}{5} त y खातीर -3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{4}{5}\left(-3\right)+\frac{8}{5}$$

-3क -\frac{4}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{12+8}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{12}{5} क \frac{8}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=4,y=-3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x+4y=8,2x-3y=17$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\17\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&4\\2&-3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\17\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\17\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-4\times 2}&-\frac{4}{5\left(-3\right)-4\times 2}\\-\frac{2}{5\left(-3\right)-4\times 2}&\frac{5}{5\left(-3\right)-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\17\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}&\frac{4}{23}\\\frac{2}{23}&-\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\17\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}\times 8+\frac{4}{23}\times 17\\\frac{2}{23}\times 8-\frac{5}{23}\times 17\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=4,y=-3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x+4y=8,2x-3y=17$$

5x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$2\times 5x+2\times 4y=2\times 8,5\times 2x+5\left(-3\right)y=5\times 17$$

सोंपें करचें.

$$10x+8y=16,10x-15y=85$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 10x+8y=16 तल्यान 10x-15y=85 वजा करचो.

$$10x-10x+8y+15y=16-85$$

-10x कडेन 10x ची बेरीज करची. अटी 10x आनी -10x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$8y+15y=16-85$$

15y कडेन 8y ची बेरीज करची.

$$23y=16-85$$

-85 कडेन 16 ची बेरीज करची.

$$23y=-69$$

दोनुय कुशींक 23 न भाग लावचो.

$$y=-3$$

2x-3y=17 त y खातीर -3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x-3\left(-3\right)=17$$

-3क -3 फावटी गुणचें.

$$2x+9=17$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 9 वजा करचें.

$$2x=8$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=4,y=-3$$