सोडोवचें {l}{5x+3y=450.000}{3x+4y=913.000}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 450.000 } \\ { 3 x + 4 y = 913.000 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = -\frac{939}{11} = -85\frac{4}{11} \approx -85.363636364$$

$$y = \frac{3215}{11} = 292\frac{3}{11} \approx 292.272727273$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x+3y=450,3x+4y=913$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x+3y=450$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$5x=-3y+450$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+450\right)$$

-3y+450क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{5}y+90$$

3x+4y=913 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{3y}{5}+90 बदलपी घेवचो.

$$3\left(-\frac{3}{5}y+90\right)+4y=913$$

-\frac{3y}{5}+90क 3 फावटी गुणचें.

$$-\frac{9}{5}y+270+4y=913$$

4y कडेन -\frac{9y}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{11}{5}y+270=913$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 270 वजा करचें.

$$\frac{11}{5}y=643$$

\frac{11}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{3215}{11}$$

x=-\frac{3}{5}y+90 त y खातीर \frac{3215}{11} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{3215}{11}+90$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{3215}{11} क -\frac{3}{5} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{1929}{11}+90$$

-\frac{1929}{11} कडेन 90 ची बेरीज करची.

$$x=-\frac{939}{11}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{939}{11},y=\frac{3215}{11}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x+3y=450,3x+4y=913$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}450\\913\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\913\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\913\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\913\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}&\frac{5}{5\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\913\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\913\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 450-\frac{3}{11}\times 913\\-\frac{3}{11}\times 450+\frac{5}{11}\times 913\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{939}{11}\\\frac{3215}{11}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{939}{11},y=\frac{3215}{11}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x+3y=450,3x+4y=913$$

5x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$3\times 5x+3\times 3y=3\times 450,5\times 3x+5\times 4y=5\times 913$$

सोंपें करचें.

$$15x+9y=1350,15x+20y=4565$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 15x+9y=1350 तल्यान 15x+20y=4565 वजा करचो.

$$15x-15x+9y-20y=1350-4565$$

-15x कडेन 15x ची बेरीज करची. अटी 15x आनी -15x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$9y-20y=1350-4565$$

-20y कडेन 9y ची बेरीज करची.

$$-11y=1350-4565$$

-4565 कडेन 1350 ची बेरीज करची.

$$-11y=-3215$$

दोनुय कुशींक -11 न भाग लावचो.

$$y=\frac{3215}{11}$$

3x+4y=913 त y खातीर \frac{3215}{11} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x+4\times \frac{3215}{11}=913$$

\frac{3215}{11}क 4 फावटी गुणचें.

$$3x+\frac{12860}{11}=913$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{12860}{11} वजा करचें.

$$3x=-\frac{2817}{11}$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{939}{11}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{939}{11},y=\frac{3215}{11}$$