सोडोवचें {l}{5x+2y=3}{7y+12x=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 3 } \\ { 7 y + 12 x = 2 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{17}{11} = 1\frac{6}{11} \approx 1.545454545$$

$$y = -\frac{26}{11} = -2\frac{4}{11} \approx -2.363636364$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x+2y=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$5x=-2y+3$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+3\right)$$

-2y+3क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}$$

12x+7y=2 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-2y+3}{5} बदलपी घेवचो.

$$12\left(-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}\right)+7y=2$$

\frac{-2y+3}{5}क 12 फावटी गुणचें.

$$-\frac{24}{5}y+\frac{36}{5}+7y=2$$

7y कडेन -\frac{24y}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{11}{5}y+\frac{36}{5}=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{36}{5} वजा करचें.

$$\frac{11}{5}y=-\frac{26}{5}$$

\frac{11}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{26}{11}$$

x=-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5} त y खातीर -\frac{26}{11} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-\frac{26}{11}\right)+\frac{3}{5}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{26}{11} क -\frac{2}{5} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{52}{55}+\frac{3}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{52}{55} क \frac{3}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{17}{11}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-2\times 12}&-\frac{2}{5\times 7-2\times 12}\\-\frac{12}{5\times 7-2\times 12}&\frac{5}{5\times 7-2\times 12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{11}&-\frac{2}{11}\\-\frac{12}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{11}\times 3-\frac{2}{11}\times 2\\-\frac{12}{11}\times 3+\frac{5}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{11}\\-\frac{26}{11}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

5x आनी 12x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 12 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$12\times 5x+12\times 2y=12\times 3,5\times 12x+5\times 7y=5\times 2$$

सोंपें करचें.

$$60x+24y=36,60x+35y=10$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 60x+24y=36 तल्यान 60x+35y=10 वजा करचो.

$$60x-60x+24y-35y=36-10$$

-60x कडेन 60x ची बेरीज करची. अटी 60x आनी -60x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$24y-35y=36-10$$

-35y कडेन 24y ची बेरीज करची.

$$-11y=36-10$$

-10 कडेन 36 ची बेरीज करची.

$$-11y=26$$

दोनुय कुशींक -11 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{26}{11}$$

12x+7y=2 त y खातीर -\frac{26}{11} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$12x+7\left(-\frac{26}{11}\right)=2$$

-\frac{26}{11}क 7 फावटी गुणचें.

$$12x-\frac{182}{11}=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{182}{11} ची बेरीज करची.

$$12x=\frac{204}{11}$$

दोनुय कुशींक 12 न भाग लावचो.

$$x=\frac{17}{11}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$