सोडोवचें {l}{5x+2y=21}{-2x+6y=-39}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 21 } \\ { - 2 x + 6 y = - 39 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=6$$

$$y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$5x+2y=21,-2x+6y=-39$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$5x+2y=21$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$5x=-2y+21$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+21\right)$$

-2y+21क \frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{21}{5}$$

-2x+6y=-39 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-2y+21}{5} बदलपी घेवचो.

$$-2\left(-\frac{2}{5}y+\frac{21}{5}\right)+6y=-39$$

\frac{-2y+21}{5}क -2 फावटी गुणचें.

$$\frac{4}{5}y-\frac{42}{5}+6y=-39$$

6y कडेन \frac{4y}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{34}{5}y-\frac{42}{5}=-39$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{42}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{34}{5}y=-\frac{153}{5}$$

\frac{34}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{9}{2}$$

x=-\frac{2}{5}y+\frac{21}{5} त y खातीर -\frac{9}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-\frac{9}{2}\right)+\frac{21}{5}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{9}{2} क -\frac{2}{5} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{9+21}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{9}{5} क \frac{21}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=6$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=6,y=-\frac{9}{2}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$5x+2y=21,-2x+6y=-39$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\-2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\-39\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&2\\-2&6\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\-2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-39\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-39\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-39\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5\times 6-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{5\times 6-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5\times 6-2\left(-2\right)}&\frac{5}{5\times 6-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\-39\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&-\frac{1}{17}\\\frac{1}{17}&\frac{5}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\-39\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\times 21-\frac{1}{17}\left(-39\right)\\\frac{1}{17}\times 21+\frac{5}{34}\left(-39\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-\frac{9}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=6,y=-\frac{9}{2}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$5x+2y=21,-2x+6y=-39$$

5x आनी -2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न गुणचें.

$$-2\times 5x-2\times 2y=-2\times 21,5\left(-2\right)x+5\times 6y=5\left(-39\right)$$

सोंपें करचें.

$$-10x-4y=-42,-10x+30y=-195$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -10x-4y=-42 तल्यान -10x+30y=-195 वजा करचो.

$$-10x+10x-4y-30y=-42+195$$

10x कडेन -10x ची बेरीज करची. अटी -10x आनी 10x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-4y-30y=-42+195$$

-30y कडेन -4y ची बेरीज करची.

$$-34y=-42+195$$

195 कडेन -42 ची बेरीज करची.

$$-34y=153$$

दोनुय कुशींक -34 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{9}{2}$$

-2x+6y=-39 त y खातीर -\frac{9}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-2x+6\left(-\frac{9}{2}\right)=-39$$

-\frac{9}{2}क 6 फावटी गुणचें.

$$-2x-27=-39$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 27 ची बेरीज करची.

$$-2x=-12$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$x=6$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=6,y=-\frac{9}{2}$$