सोडोवचें {l}{4x-4y=4}{-4x-y=-11}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 4 y = 4 } \\ { - 4 x - y = - 11 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

$$y = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$4x-4y=4,-4x-y=-11$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$4x-4y=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4y ची बेरीज करची.

$$4x=4y+4$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{4}\left(4y+4\right)$$

4+4yक \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=y+1$$

-4x-y=-11 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर y+1 बदलपी घेवचो.

$$-4\left(y+1\right)-y=-11$$

y+1क -4 फावटी गुणचें.

$$-4y-4-y=-11$$

-y कडेन -4y ची बेरीज करची.

$$-5y-4=-11$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4 ची बेरीज करची.

$$-5y=-7$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$y=\frac{7}{5}$$

x=y+1 त y खातीर \frac{7}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{7}{5}+1$$

\frac{7}{5} कडेन 1 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{12}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{7}{5}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$4x-4y=4,-4x-y=-11$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}4&-4\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-4\\-4&-1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-4\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-4\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-4\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-4\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-4\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-\left(-4\left(-4\right)\right)}&-\frac{-4}{4\left(-1\right)-\left(-4\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\left(-1\right)-\left(-4\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\left(-1\right)-\left(-4\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\times 4-\frac{1}{5}\left(-11\right)\\-\frac{1}{5}\times 4-\frac{1}{5}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{5}\\\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{7}{5}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$4x-4y=4,-4x-y=-11$$

4x आनी -4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न गुणचें.

$$-4\times 4x-4\left(-4\right)y=-4\times 4,4\left(-4\right)x+4\left(-1\right)y=4\left(-11\right)$$

सोंपें करचें.

$$-16x+16y=-16,-16x-4y=-44$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -16x+16y=-16 तल्यान -16x-4y=-44 वजा करचो.

$$-16x+16x+16y+4y=-16+44$$

16x कडेन -16x ची बेरीज करची. अटी -16x आनी 16x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$16y+4y=-16+44$$

4y कडेन 16y ची बेरीज करची.

$$20y=-16+44$$

44 कडेन -16 ची बेरीज करची.

$$20y=28$$

दोनुय कुशींक 20 न भाग लावचो.

$$y=\frac{7}{5}$$

-4x-y=-11 त y खातीर \frac{7}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-4x-\frac{7}{5}=-11$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{7}{5} ची बेरीज करची.

$$-4x=-\frac{48}{5}$$

दोनुय कुशींक -4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{12}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{7}{5}$$