सोडोवचें {l}{4x+5y=-14}{-9x-9y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = - 14 } \\ { - 9 x - 9 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=9$$

$$y=-10$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$4x+5y=-14,-9x-9y=9$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$4x+5y=-14$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y वजा करचें.

$$4x=-5y-14$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y-14\right)$$

-5y-14क \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}$$

-9x-9y=9 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{5y}{4}-\frac{7}{2} बदलपी घेवचो.

$$-9\left(-\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}\right)-9y=9$$

-\frac{5y}{4}-\frac{7}{2}क -9 फावटी गुणचें.

$$\frac{45}{4}y+\frac{63}{2}-9y=9$$

-9y कडेन \frac{45y}{4} ची बेरीज करची.

$$\frac{9}{4}y+\frac{63}{2}=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{63}{2} वजा करचें.

$$\frac{9}{4}y=-\frac{45}{2}$$

\frac{9}{4} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-10$$

x=-\frac{5}{4}y-\frac{7}{2} त y खातीर -10 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{5}{4}\left(-10\right)-\frac{7}{2}$$

-10क -\frac{5}{4} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{25-7}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{25}{2} क -\frac{7}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=9$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=9,y=-10$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$4x+5y=-14,-9x-9y=9$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{4\left(-9\right)-5\left(-9\right)}&-\frac{5}{4\left(-9\right)-5\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{4\left(-9\right)-5\left(-9\right)}&\frac{4}{4\left(-9\right)-5\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-\frac{5}{9}\\1&\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-14\right)-\frac{5}{9}\times 9\\-14+\frac{4}{9}\times 9\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=9,y=-10$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$4x+5y=-14,-9x-9y=9$$

4x आनी -9x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -9 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न गुणचें.

$$-9\times 4x-9\times 5y=-9\left(-14\right),4\left(-9\right)x+4\left(-9\right)y=4\times 9$$

सोंपें करचें.

$$-36x-45y=126,-36x-36y=36$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -36x-45y=126 तल्यान -36x-36y=36 वजा करचो.

$$-36x+36x-45y+36y=126-36$$

36x कडेन -36x ची बेरीज करची. अटी -36x आनी 36x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-45y+36y=126-36$$

36y कडेन -45y ची बेरीज करची.

$$-9y=126-36$$

-36 कडेन 126 ची बेरीज करची.

$$-9y=90$$

दोनुय कुशींक -9 न भाग लावचो.

$$y=-10$$

-9x-9y=9 त y खातीर -10 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-9x-9\left(-10\right)=9$$

-10क -9 फावटी गुणचें.

$$-9x+90=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 90 वजा करचें.

$$-9x=-81$$

दोनुय कुशींक -9 न भाग लावचो.

$$x=9$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=9,y=-10$$