सोडोवचें {l}{4x+5y=-12}{5x-17=-7y}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = - 12 } \\ { 5 x - 17 = - 7 y } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = -\frac{169}{3} = -56\frac{1}{3} \approx -56.333333333$$

$$y = \frac{128}{3} = 42\frac{2}{3} \approx 42.666666667$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय वटांनी 7y जोडचे.

$$5x-17+7y=0$$

दोनूय वटांनी 17 जोडचे. किदेंय अदीक शुन्य तें दितां.

$$5x+7y=17$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$4x+5y=-12$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y वजा करचें.

$$4x=-5y-12$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y-12\right)$$

-5y-12क \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{5}{4}y-3$$

5x+7y=17 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{5y}{4}-3 बदलपी घेवचो.

$$5\left(-\frac{5}{4}y-3\right)+7y=17$$

-\frac{5y}{4}-3क 5 फावटी गुणचें.

$$-\frac{25}{4}y-15+7y=17$$

7y कडेन -\frac{25y}{4} ची बेरीज करची.

$$\frac{3}{4}y-15=17$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 15 ची बेरीज करची.

$$\frac{3}{4}y=32$$

\frac{3}{4} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{128}{3}$$

x=-\frac{5}{4}y-3 त y खातीर \frac{128}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{128}{3}-3$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{128}{3} क -\frac{5}{4} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{160}{3}-3$$

-\frac{160}{3} कडेन -3 ची बेरीज करची.

$$x=-\frac{169}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय वटांनी 7y जोडचे.

$$5x-17+7y=0$$

दोनूय वटांनी 17 जोडचे. किदेंय अदीक शुन्य तें दितां.

$$5x+7y=17$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4\times 7-5\times 5}&-\frac{5}{4\times 7-5\times 5}\\-\frac{5}{4\times 7-5\times 5}&\frac{4}{4\times 7-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}&-\frac{5}{3}\\-\frac{5}{3}&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\left(-12\right)-\frac{5}{3}\times 17\\-\frac{5}{3}\left(-12\right)+\frac{4}{3}\times 17\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{169}{3}\\\frac{128}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय वटांनी 7y जोडचे.

$$5x-17+7y=0$$

दोनूय वटांनी 17 जोडचे. किदेंय अदीक शुन्य तें दितां.

$$5x+7y=17$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

4x आनी 5x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न गुणचें.

$$5\times 4x+5\times 5y=5\left(-12\right),4\times 5x+4\times 7y=4\times 17$$

सोंपें करचें.

$$20x+25y=-60,20x+28y=68$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 20x+25y=-60 तल्यान 20x+28y=68 वजा करचो.

$$20x-20x+25y-28y=-60-68$$

-20x कडेन 20x ची बेरीज करची. अटी 20x आनी -20x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$25y-28y=-60-68$$

-28y कडेन 25y ची बेरीज करची.

$$-3y=-60-68$$

-68 कडेन -60 ची बेरीज करची.

$$-3y=-128$$

दोनुय कुशींक -3 न भाग लावचो.

$$y=\frac{128}{3}$$

5x+7y=17 त y खातीर \frac{128}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$5x+7\times \frac{128}{3}=17$$

\frac{128}{3}क 7 फावटी गुणचें.

$$5x+\frac{896}{3}=17$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{896}{3} वजा करचें.

$$5x=-\frac{845}{3}$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{169}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$