सोडोवचें {l}{3x+y=1}{4x+4y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 1 } \\ { 4 x + 4 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=\frac{1}{8}=0.125$$

$$y=\frac{5}{8}=0.625$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x+y=1,4x+4y=3$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x+y=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$3x=-y+1$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+1\right)$$

-y+1क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$$

4x+4y=3 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-y+1}{3} बदलपी घेवचो.

$$4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)+4y=3$$

\frac{-y+1}{3}क 4 फावटी गुणचें.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{4}{3}+4y=3$$

4y कडेन -\frac{4y}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{8}{3}y+\frac{4}{3}=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{4}{3} वजा करचें.

$$\frac{8}{3}y=\frac{5}{3}$$

\frac{8}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{5}{8}$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3} त y खातीर \frac{5}{8} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{5}{8}+\frac{1}{3}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{5}{8} क -\frac{1}{3} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{5}{24}+\frac{1}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{5}{24} क \frac{1}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{1}{8}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{1}{8},y=\frac{5}{8}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x+y=1,4x+4y=3$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-4}&-\frac{1}{3\times 4-4}\\-\frac{4}{3\times 4-4}&\frac{3}{3\times 4-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\times 3\\-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\\\frac{5}{8}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{1}{8},y=\frac{5}{8}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x+y=1,4x+4y=3$$

3x आनी 4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$4\times 3x+4y=4,3\times 4x+3\times 4y=3\times 3$$

सोंपें करचें.

$$12x+4y=4,12x+12y=9$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 12x+4y=4 तल्यान 12x+12y=9 वजा करचो.

$$12x-12x+4y-12y=4-9$$

-12x कडेन 12x ची बेरीज करची. अटी 12x आनी -12x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$4y-12y=4-9$$

-12y कडेन 4y ची बेरीज करची.

$$-8y=4-9$$

-9 कडेन 4 ची बेरीज करची.

$$-8y=-5$$

दोनुय कुशींक -8 न भाग लावचो.

$$y=\frac{5}{8}$$

4x+4y=3 त y खातीर \frac{5}{8} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$4x+4\times \frac{5}{8}=3$$

\frac{5}{8}क 4 फावटी गुणचें.

$$4x+\frac{5}{2}=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{5}{2} वजा करचें.

$$4x=\frac{1}{2}$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{8}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{1}{8},y=\frac{5}{8}$$