सोडोवचें {l}{3x+7y=6}{4x-5y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 7 y = 6 } \\ { 4 x - 5 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{51}{43} = 1\frac{8}{43} \approx 1.186046512$$

$$y=\frac{15}{43}\approx 0.348837209$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x+7y=6,4x-5y=3$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x+7y=6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 7y वजा करचें.

$$3x=-7y+6$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+6\right)$$

-7y+6क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{7}{3}y+2$$

4x-5y=3 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{7y}{3}+2 बदलपी घेवचो.

$$4\left(-\frac{7}{3}y+2\right)-5y=3$$

-\frac{7y}{3}+2क 4 फावटी गुणचें.

$$-\frac{28}{3}y+8-5y=3$$

-5y कडेन -\frac{28y}{3} ची बेरीज करची.

$$-\frac{43}{3}y+8=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 8 वजा करचें.

$$-\frac{43}{3}y=-5$$

-\frac{43}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{15}{43}$$

x=-\frac{7}{3}y+2 त y खातीर \frac{15}{43} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{7}{3}\times \frac{15}{43}+2$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{15}{43} क -\frac{7}{3} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{35}{43}+2$$

-\frac{35}{43} कडेन 2 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{51}{43}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{51}{43},y=\frac{15}{43}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x+7y=6,4x-5y=3$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&7\\4&-5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-7\times 4}&-\frac{7}{3\left(-5\right)-7\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-5\right)-7\times 4}&\frac{3}{3\left(-5\right)-7\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{43}&\frac{7}{43}\\\frac{4}{43}&-\frac{3}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{43}\times 6+\frac{7}{43}\times 3\\\frac{4}{43}\times 6-\frac{3}{43}\times 3\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{51}{43}\\\frac{15}{43}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{51}{43},y=\frac{15}{43}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x+7y=6,4x-5y=3$$

3x आनी 4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$4\times 3x+4\times 7y=4\times 6,3\times 4x+3\left(-5\right)y=3\times 3$$

सोंपें करचें.

$$12x+28y=24,12x-15y=9$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 12x+28y=24 तल्यान 12x-15y=9 वजा करचो.

$$12x-12x+28y+15y=24-9$$

-12x कडेन 12x ची बेरीज करची. अटी 12x आनी -12x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$28y+15y=24-9$$

15y कडेन 28y ची बेरीज करची.

$$43y=24-9$$

-9 कडेन 24 ची बेरीज करची.

$$43y=15$$

दोनुय कुशींक 43 न भाग लावचो.

$$y=\frac{15}{43}$$

4x-5y=3 त y खातीर \frac{15}{43} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$4x-5\times \frac{15}{43}=3$$

\frac{15}{43}क -5 फावटी गुणचें.

$$4x-\frac{75}{43}=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{75}{43} ची बेरीज करची.

$$4x=\frac{204}{43}$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{51}{43}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{51}{43},y=\frac{15}{43}$$