सोडोवचें {l}{3x+4y=-10}{x-4y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = - 10 } \\ { x - 4 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-2$$

$$y=-1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x+4y=-10,x-4y=2$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x+4y=-10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4y वजा करचें.

$$3x=-4y-10$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y-10\right)$$

-4y-10क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{4}{3}y-\frac{10}{3}$$

x-4y=2 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-4y-10}{3} बदलपी घेवचो.

$$-\frac{4}{3}y-\frac{10}{3}-4y=2$$

-4y कडेन -\frac{4y}{3} ची बेरीज करची.

$$-\frac{16}{3}y-\frac{10}{3}=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{10}{3} ची बेरीज करची.

$$-\frac{16}{3}y=\frac{16}{3}$$

-\frac{16}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-1$$

x=-\frac{4}{3}y-\frac{10}{3} त y खातीर -1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-1\right)-\frac{10}{3}$$

-1क -\frac{4}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{4-10}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{4}{3} क -\frac{10}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-2,y=-1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x+4y=-10,x-4y=2$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&4\\1&-4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\2\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-4}&-\frac{4}{3\left(-4\right)-4}\\-\frac{1}{3\left(-4\right)-4}&\frac{3}{3\left(-4\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{16}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-10\right)+\frac{1}{4}\times 2\\\frac{1}{16}\left(-10\right)-\frac{3}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-2,y=-1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x+4y=-10,x-4y=2$$

3x आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$3x+4y=-10,3x+3\left(-4\right)y=3\times 2$$

सोंपें करचें.

$$3x+4y=-10,3x-12y=6$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 3x+4y=-10 तल्यान 3x-12y=6 वजा करचो.

$$3x-3x+4y+12y=-10-6$$

-3x कडेन 3x ची बेरीज करची. अटी 3x आनी -3x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$4y+12y=-10-6$$

12y कडेन 4y ची बेरीज करची.

$$16y=-10-6$$

-6 कडेन -10 ची बेरीज करची.

$$16y=-16$$

दोनुय कुशींक 16 न भाग लावचो.

$$y=-1$$

x-4y=2 त y खातीर -1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x-4\left(-1\right)=2$$

-1क -4 फावटी गुणचें.

$$x+4=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4 वजा करचें.

$$x=-2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-2,y=-1$$