सोडोवचें {l}{3x+2y=-8}{2x+5y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = - 8 } \\ { 2 x + 5 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-4$$

$$y=2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3x+2y=-8,2x+5y=2$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$3x+2y=-8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$3x=-2y-8$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y-8\right)$$

-2y-8क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3}$$

2x+5y=2 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-2y-8}{3} बदलपी घेवचो.

$$2\left(-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3}\right)+5y=2$$

\frac{-2y-8}{3}क 2 फावटी गुणचें.

$$-\frac{4}{3}y-\frac{16}{3}+5y=2$$

5y कडेन -\frac{4y}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{11}{3}y-\frac{16}{3}=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{16}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{11}{3}y=\frac{22}{3}$$

\frac{11}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=2$$

x=-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3} त y खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2-\frac{8}{3}$$

2क -\frac{2}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-4-8}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{4}{3} क -\frac{8}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-4,y=2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3x+2y=-8,2x+5y=2$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\2&5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-2\times 2}&-\frac{2}{3\times 5-2\times 2}\\-\frac{2}{3\times 5-2\times 2}&\frac{3}{3\times 5-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{11}&-\frac{2}{11}\\-\frac{2}{11}&\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{11}\left(-8\right)-\frac{2}{11}\times 2\\-\frac{2}{11}\left(-8\right)+\frac{3}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-4,y=2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3x+2y=-8,2x+5y=2$$

3x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\left(-8\right),3\times 2x+3\times 5y=3\times 2$$

सोंपें करचें.

$$6x+4y=-16,6x+15y=6$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 6x+4y=-16 तल्यान 6x+15y=6 वजा करचो.

$$6x-6x+4y-15y=-16-6$$

-6x कडेन 6x ची बेरीज करची. अटी 6x आनी -6x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$4y-15y=-16-6$$

-15y कडेन 4y ची बेरीज करची.

$$-11y=-16-6$$

-6 कडेन -16 ची बेरीज करची.

$$-11y=-22$$

दोनुय कुशींक -11 न भाग लावचो.

$$y=2$$

2x+5y=2 त y खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x+5\times 2=2$$

2क 5 फावटी गुणचें.

$$2x+10=2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 10 वजा करचें.

$$2x=-8$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=-4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-4,y=2$$