सोडोवचें {l}{3p+4q=3}{1/2+q=3p}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 p + 4 q = 3 } \\ { \frac { 1 } { 2 } + q = 3 p } \end{array} \right.$$

p, q खातीर सोडोवचें

$$p=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$q=\frac{1}{2}=0.5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 3p वजा करचें.

$$\frac{1}{2}+q-3p=0$$

दोनूय कुशींतल्यान \frac{1}{2} वजा करचें. किदेंय शुन्यातल्यान वजा केल्यार अभाव दाखयता.

$$q-3p=-\frac{1}{2}$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$3p+4q=3,-3p+q=-\frac{1}{2}$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक p वेगळावन p खातीर तें सोडोवचें.

$$3p+4q=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4q वजा करचें.

$$3p=-4q+3$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$p=\frac{1}{3}\left(-4q+3\right)$$

-4q+3क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$p=-\frac{4}{3}q+1$$

-3p+q=-\frac{1}{2} ह्या दुस-या समिकरणांत p खातीर -\frac{4q}{3}+1 बदलपी घेवचो.

$$-3\left(-\frac{4}{3}q+1\right)+q=-\frac{1}{2}$$

-\frac{4q}{3}+1क -3 फावटी गुणचें.

$$4q-3+q=-\frac{1}{2}$$

q कडेन 4q ची बेरीज करची.

$$5q-3=-\frac{1}{2}$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3 ची बेरीज करची.

$$5q=\frac{5}{2}$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$q=\frac{1}{2}$$

p=-\frac{4}{3}q+1 त q खातीर \frac{1}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी p खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$p=-\frac{4}{3}\times \frac{1}{2}+1$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{1}{2} क -\frac{4}{3} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$p=-\frac{2}{3}+1$$

-\frac{2}{3} कडेन 1 ची बेरीज करची.

$$p=\frac{1}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$p=\frac{1}{3},q=\frac{1}{2}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 3p वजा करचें.

$$\frac{1}{2}+q-3p=0$$

दोनूय कुशींतल्यान \frac{1}{2} वजा करचें. किदेंय शुन्यातल्यान वजा केल्यार अभाव दाखयता.

$$q-3p=-\frac{1}{2}$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$3p+4q=3,-3p+q=-\frac{1}{2}$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&4\\-3&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4\left(-3\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{3-4\left(-3\right)}&\frac{3}{3-4\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{4}{15}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 3-\frac{4}{15}\left(-\frac{1}{2}\right)\\\frac{1}{5}\times 3+\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{2}\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां p आनी q काडचीं.

$$p=\frac{1}{3},q=\frac{1}{2}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 3p वजा करचें.

$$\frac{1}{2}+q-3p=0$$

दोनूय कुशींतल्यान \frac{1}{2} वजा करचें. किदेंय शुन्यातल्यान वजा केल्यार अभाव दाखयता.

$$q-3p=-\frac{1}{2}$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$3p+4q=3,-3p+q=-\frac{1}{2}$$

3p आनी -3p बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न गुणचें.

$$-3\times 3p-3\times 4q=-3\times 3,3\left(-3\right)p+3q=3\left(-\frac{1}{2}\right)$$

सोंपें करचें.

$$-9p-12q=-9,-9p+3q=-\frac{3}{2}$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -9p-12q=-9 तल्यान -9p+3q=-\frac{3}{2} वजा करचो.

$$-9p+9p-12q-3q=-9+\frac{3}{2}$$

9p कडेन -9p ची बेरीज करची. अटी -9p आनी 9p रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-12q-3q=-9+\frac{3}{2}$$

-3q कडेन -12q ची बेरीज करची.

$$-15q=-9+\frac{3}{2}$$

\frac{3}{2} कडेन -9 ची बेरीज करची.

$$-15q=-\frac{15}{2}$$

दोनुय कुशींक -15 न भाग लावचो.

$$q=\frac{1}{2}$$

-3p+q=-\frac{1}{2} त q खातीर \frac{1}{2} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी p खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-3p+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{1}{2} वजा करचें.

$$-3p=-1$$

दोनुय कुशींक -3 न भाग लावचो.

$$p=\frac{1}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$p=\frac{1}{3},q=\frac{1}{2}$$