सोडोवचें {l}{20x+9y=20}{-4x-2y=-42}

$$\left. \begin{array} { l } { 20 x + 9 y = 20 } \\ { - 4 x - 2 y = - 42 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = -\frac{169}{2} = -84\frac{1}{2} = -84.5$$

$$y=190$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$20x+9y=20,-4x-2y=-42$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$20x+9y=20$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 9y वजा करचें.

$$20x=-9y+20$$

दोनुय कुशींक 20 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{20}\left(-9y+20\right)$$

-9y+20क \frac{1}{20} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{9}{20}y+1$$

-4x-2y=-42 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{9y}{20}+1 बदलपी घेवचो.

$$-4\left(-\frac{9}{20}y+1\right)-2y=-42$$

-\frac{9y}{20}+1क -4 फावटी गुणचें.

$$\frac{9}{5}y-4-2y=-42$$

-2y कडेन \frac{9y}{5} ची बेरीज करची.

$$-\frac{1}{5}y-4=-42$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4 ची बेरीज करची.

$$-\frac{1}{5}y=-38$$

दोनूय कुशीनीं -5 न गुणचें.

$$y=190$$

x=-\frac{9}{20}y+1 त y खातीर 190 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{9}{20}\times 190+1$$

190क -\frac{9}{20} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{171}{2}+1$$

-\frac{171}{2} कडेन 1 ची बेरीज करची.

$$x=-\frac{169}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{169}{2},y=190$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$20x+9y=20,-4x-2y=-42$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}20&9\\-4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-42\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}20&9\\-4&-2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}20&9\\-4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20&9\\-4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&9\\-4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-42\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&9\\-4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-42\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&9\\-4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-42\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{20\left(-2\right)-9\left(-4\right)}&-\frac{9}{20\left(-2\right)-9\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{20\left(-2\right)-9\left(-4\right)}&\frac{20}{20\left(-2\right)-9\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-42\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{9}{4}\\-1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-42\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 20+\frac{9}{4}\left(-42\right)\\-20-5\left(-42\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{169}{2}\\190\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{169}{2},y=190$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$20x+9y=20,-4x-2y=-42$$

20x आनी -4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 20 न गुणचें.

$$-4\times 20x-4\times 9y=-4\times 20,20\left(-4\right)x+20\left(-2\right)y=20\left(-42\right)$$

सोंपें करचें.

$$-80x-36y=-80,-80x-40y=-840$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -80x-36y=-80 तल्यान -80x-40y=-840 वजा करचो.

$$-80x+80x-36y+40y=-80+840$$

80x कडेन -80x ची बेरीज करची. अटी -80x आनी 80x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-36y+40y=-80+840$$

40y कडेन -36y ची बेरीज करची.

$$4y=-80+840$$

840 कडेन -80 ची बेरीज करची.

$$4y=760$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$y=190$$

-4x-2y=-42 त y खातीर 190 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-4x-2\times 190=-42$$

190क -2 फावटी गुणचें.

$$-4x-380=-42$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 380 ची बेरीज करची.

$$-4x=338$$

दोनुय कुशींक -4 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{169}{2}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{169}{2},y=190$$