सोडोवचें {l}{20a+3b=41}{15a+7b=45}

$$\left. \begin{array} { l } { 20 a + 3 b = 41 } \\ { 15 a + 7 b = 45 } \end{array} \right.$$

a, b खातीर सोडोवचें

$$a = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$b=3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$20a+3b=41,15a+7b=45$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक a वेगळावन a खातीर तें सोडोवचें.

$$20a+3b=41$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3b वजा करचें.

$$20a=-3b+41$$

दोनुय कुशींक 20 न भाग लावचो.

$$a=\frac{1}{20}\left(-3b+41\right)$$

-3b+41क \frac{1}{20} फावटी गुणचें.

$$a=-\frac{3}{20}b+\frac{41}{20}$$

15a+7b=45 ह्या दुस-या समिकरणांत a खातीर \frac{-3b+41}{20} बदलपी घेवचो.

$$15\left(-\frac{3}{20}b+\frac{41}{20}\right)+7b=45$$

\frac{-3b+41}{20}क 15 फावटी गुणचें.

$$-\frac{9}{4}b+\frac{123}{4}+7b=45$$

7b कडेन -\frac{9b}{4} ची बेरीज करची.

$$\frac{19}{4}b+\frac{123}{4}=45$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{123}{4} वजा करचें.

$$\frac{19}{4}b=\frac{57}{4}$$

\frac{19}{4} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$b=3$$

a=-\frac{3}{20}b+\frac{41}{20} त b खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी a खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$a=-\frac{3}{20}\times 3+\frac{41}{20}$$

3क -\frac{3}{20} फावटी गुणचें.

$$a=\frac{-9+41}{20}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{9}{20} क \frac{41}{20} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$a=\frac{8}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$a=\frac{8}{5},b=3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$20a+3b=41,15a+7b=45$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{20\times 7-3\times 15}&-\frac{3}{20\times 7-3\times 15}\\-\frac{15}{20\times 7-3\times 15}&\frac{20}{20\times 7-3\times 15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{95}&-\frac{3}{95}\\-\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{95}\times 41-\frac{3}{95}\times 45\\-\frac{3}{19}\times 41+\frac{4}{19}\times 45\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां a आनी b काडचीं.

$$a=\frac{8}{5},b=3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$20a+3b=41,15a+7b=45$$

20a आनी 15a बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 15 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 20 न गुणचें.

$$15\times 20a+15\times 3b=15\times 41,20\times 15a+20\times 7b=20\times 45$$

सोंपें करचें.

$$300a+45b=615,300a+140b=900$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 300a+45b=615 तल्यान 300a+140b=900 वजा करचो.

$$300a-300a+45b-140b=615-900$$

-300a कडेन 300a ची बेरीज करची. अटी 300a आनी -300a रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$45b-140b=615-900$$

-140b कडेन 45b ची बेरीज करची.

$$-95b=615-900$$

-900 कडेन 615 ची बेरीज करची.

$$-95b=-285$$

दोनुय कुशींक -95 न भाग लावचो.

$$b=3$$

15a+7b=45 त b खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी a खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$15a+7\times 3=45$$

3क 7 फावटी गुणचें.

$$15a+21=45$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 21 वजा करचें.

$$15a=24$$

दोनुय कुशींक 15 न भाग लावचो.

$$a=\frac{8}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$a=\frac{8}{5},b=3$$