सोडोवचें {l}{2x-3y=-1}{2x+3y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = - 1 } \\ { 2 x + 3 y = 16 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4} = 3.75$$

$$y = \frac{17}{6} = 2\frac{5}{6} \approx 2.833333333$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x-3y=-1,2x+3y=16$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x-3y=-1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y ची बेरीज करची.

$$2x=3y-1$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-1\right)$$

3y-1क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}$$

2x+3y=16 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{3y-1}{2} बदलपी घेवचो.

$$2\left(\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}\right)+3y=16$$

\frac{3y-1}{2}क 2 फावटी गुणचें.

$$3y-1+3y=16$$

3y कडेन 3y ची बेरीज करची.

$$6y-1=16$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 1 ची बेरीज करची.

$$6y=17$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$y=\frac{17}{6}$$

x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2} त y खातीर \frac{17}{6} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{17}{6}-\frac{1}{2}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{17}{6} क \frac{3}{2} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{17}{4}-\frac{1}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{17}{4} क -\frac{1}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{15}{4}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{15}{4},y=\frac{17}{6}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x-3y=-1,2x+3y=16$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}\times 16\\-\frac{1}{6}\left(-1\right)+\frac{1}{6}\times 16\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{4}\\\frac{17}{6}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{15}{4},y=\frac{17}{6}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x-3y=-1,2x+3y=16$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2x-3y=-1 तल्यान 2x+3y=16 वजा करचो.

$$2x-2x-3y-3y=-1-16$$

-2x कडेन 2x ची बेरीज करची. अटी 2x आनी -2x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-3y-3y=-1-16$$

-3y कडेन -3y ची बेरीज करची.

$$-6y=-1-16$$

-16 कडेन -1 ची बेरीज करची.

$$-6y=-17$$

दोनुय कुशींक -6 न भाग लावचो.

$$y=\frac{17}{6}$$

2x+3y=16 त y खातीर \frac{17}{6} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x+3\times \frac{17}{6}=16$$

\frac{17}{6}क 3 फावटी गुणचें.

$$2x+\frac{17}{2}=16$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{17}{2} वजा करचें.

$$2x=\frac{15}{2}$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{15}{4}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{15}{4},y=\frac{17}{6}$$