सोडोवचें {l}{2x+y-7=0}{17x-11y-8=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y - 7 = 0 } \\ { 17 x - 11 y - 8 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{85}{39} = 2\frac{7}{39} \approx 2.179487179$$

$$y = \frac{103}{39} = 2\frac{25}{39} \approx 2.641025641$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+y-7=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 7 ची बेरीज करची.

$$2x+y=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$2x=-y+7$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+7\right)$$

-y+7क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}$$

17x-11y-8=0 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-y+7}{2} बदलपी घेवचो.

$$17\left(-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}\right)-11y-8=0$$

\frac{-y+7}{2}क 17 फावटी गुणचें.

$$-\frac{17}{2}y+\frac{119}{2}-11y-8=0$$

-11y कडेन -\frac{17y}{2} ची बेरीज करची.

$$-\frac{39}{2}y+\frac{119}{2}-8=0$$

-8 कडेन \frac{119}{2} ची बेरीज करची.

$$-\frac{39}{2}y+\frac{103}{2}=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{103}{2} वजा करचें.

$$-\frac{39}{2}y=-\frac{103}{2}$$

-\frac{39}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{103}{39}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2} त y खातीर \frac{103}{39} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{103}{39}+\frac{7}{2}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{103}{39} क -\frac{1}{2} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{103}{78}+\frac{7}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{103}{78} क \frac{7}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{85}{39}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{2\left(-11\right)-17}&-\frac{1}{2\left(-11\right)-17}\\-\frac{17}{2\left(-11\right)-17}&\frac{2}{2\left(-11\right)-17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}&\frac{1}{39}\\\frac{17}{39}&-\frac{2}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}\times 7+\frac{1}{39}\times 8\\\frac{17}{39}\times 7-\frac{2}{39}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{85}{39}\\\frac{103}{39}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

2x आनी 17x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 17 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$17\times 2x+17y+17\left(-7\right)=0,2\times 17x+2\left(-11\right)y+2\left(-8\right)=0$$

सोंपें करचें.

$$34x+17y-119=0,34x-22y-16=0$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 34x+17y-119=0 तल्यान 34x-22y-16=0 वजा करचो.

$$34x-34x+17y+22y-119+16=0$$

-34x कडेन 34x ची बेरीज करची. अटी 34x आनी -34x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$17y+22y-119+16=0$$

22y कडेन 17y ची बेरीज करची.

$$39y-119+16=0$$

16 कडेन -119 ची बेरीज करची.

$$39y-103=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 103 ची बेरीज करची.

$$39y=103$$

दोनुय कुशींक 39 न भाग लावचो.

$$y=\frac{103}{39}$$

17x-11y-8=0 त y खातीर \frac{103}{39} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$17x-11\times \frac{103}{39}-8=0$$

\frac{103}{39}क -11 फावटी गुणचें.

$$17x-\frac{1133}{39}-8=0$$

-8 कडेन -\frac{1133}{39} ची बेरीज करची.

$$17x-\frac{1445}{39}=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{1445}{39} ची बेरीज करची.

$$17x=\frac{1445}{39}$$

दोनुय कुशींक 17 न भाग लावचो.

$$x=\frac{85}{39}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$