सोडोवचें {l}{2x+5y=17}{5x+y=31}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 17 } \\ { 5 x + y = 31 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=6$$

$$y=1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+5y=17,5x+y=31$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+5y=17$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y वजा करचें.

$$2x=-5y+17$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+17\right)$$

-5y+17क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}$$

5x+y=31 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-5y+17}{2} बदलपी घेवचो.

$$5\left(-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}\right)+y=31$$

\frac{-5y+17}{2}क 5 फावटी गुणचें.

$$-\frac{25}{2}y+\frac{85}{2}+y=31$$

y कडेन -\frac{25y}{2} ची बेरीज करची.

$$-\frac{23}{2}y+\frac{85}{2}=31$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{85}{2} वजा करचें.

$$-\frac{23}{2}y=-\frac{23}{2}$$

-\frac{23}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=1$$

x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2} त y खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{-5+17}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{5}{2} क \frac{17}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=6$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=6,y=1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+5y=17,5x+y=31$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5\times 5}&-\frac{5}{2-5\times 5}\\-\frac{5}{2-5\times 5}&\frac{2}{2-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{23}&\frac{5}{23}\\\frac{5}{23}&-\frac{2}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{23}\times 17+\frac{5}{23}\times 31\\\frac{5}{23}\times 17-\frac{2}{23}\times 31\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=6,y=1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+5y=17,5x+y=31$$

2x आनी 5x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$5\times 2x+5\times 5y=5\times 17,2\times 5x+2y=2\times 31$$

सोंपें करचें.

$$10x+25y=85,10x+2y=62$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 10x+25y=85 तल्यान 10x+2y=62 वजा करचो.

$$10x-10x+25y-2y=85-62$$

-10x कडेन 10x ची बेरीज करची. अटी 10x आनी -10x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$25y-2y=85-62$$

-2y कडेन 25y ची बेरीज करची.

$$23y=85-62$$

-62 कडेन 85 ची बेरीज करची.

$$23y=23$$

दोनुय कुशींक 23 न भाग लावचो.

$$y=1$$

5x+y=31 त y खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$5x+1=31$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 1 वजा करचें.

$$5x=30$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=6$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=6,y=1$$