सोडोवचें {l}{2x+5y=1}{2x+3y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 1 } \\ { 2 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=3$$

$$y=-1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+5y=1,2x+3y=3$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+5y=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y वजा करचें.

$$2x=-5y+1$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+1\right)$$

-5y+1क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}$$

2x+3y=3 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-5y+1}{2} बदलपी घेवचो.

$$2\left(-\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}\right)+3y=3$$

\frac{-5y+1}{2}क 2 फावटी गुणचें.

$$-5y+1+3y=3$$

3y कडेन -5y ची बेरीज करची.

$$-2y+1=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 1 वजा करचें.

$$-2y=2$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$y=-1$$

x=-\frac{5}{2}y+\frac{1}{2} त y खातीर -1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}$$

-1क -\frac{5}{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{5+1}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{5}{2} क \frac{1}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=-1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+5y=1,2x+3y=3$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&5\\2&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-5\times 2}&-\frac{5}{2\times 3-5\times 2}\\-\frac{2}{2\times 3-5\times 2}&\frac{2}{2\times 3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&\frac{5}{4}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}+\frac{5}{4}\times 3\\\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=3,y=-1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+5y=1,2x+3y=3$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2x+5y=1 तल्यान 2x+3y=3 वजा करचो.

$$2x-2x+5y-3y=1-3$$

-2x कडेन 2x ची बेरीज करची. अटी 2x आनी -2x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$5y-3y=1-3$$

-3y कडेन 5y ची बेरीज करची.

$$2y=1-3$$

-3 कडेन 1 ची बेरीज करची.

$$2y=-2$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$y=-1$$

2x+3y=3 त y खातीर -1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x+3\left(-1\right)=3$$

-1क 3 फावटी गुणचें.

$$2x-3=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3 ची बेरीज करची.

$$2x=6$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=-1$$