सोडोवचें {l}{18x-14y=-5}{18x+2y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { 18 x - 14 y = - 5 } \\ { 18 x + 2 y = - 20 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = -\frac{145}{144} = -1\frac{1}{144} \approx -1.006944444$$

$$y=-\frac{15}{16}=-0.9375$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$18x-14y=-5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 14y ची बेरीज करची.

$$18x=14y-5$$

दोनुय कुशींक 18 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{18}\left(14y-5\right)$$

14y-5क \frac{1}{18} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}$$

18x+2y=-20 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{7y}{9}-\frac{5}{18} बदलपी घेवचो.

$$18\left(\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}\right)+2y=-20$$

\frac{7y}{9}-\frac{5}{18}क 18 फावटी गुणचें.

$$14y-5+2y=-20$$

2y कडेन 14y ची बेरीज करची.

$$16y-5=-20$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5 ची बेरीज करची.

$$16y=-15$$

दोनुय कुशींक 16 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{15}{16}$$

x=\frac{7}{9}y-\frac{5}{18} त y खातीर -\frac{15}{16} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{7}{9}\left(-\frac{15}{16}\right)-\frac{5}{18}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{15}{16} क \frac{7}{9} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{35}{48}-\frac{5}{18}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{35}{48} क -\frac{5}{18} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{145}{144}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}&-\frac{-14}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}\\-\frac{18}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}&\frac{18}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{144}&\frac{7}{144}\\-\frac{1}{16}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{144}\left(-5\right)+\frac{7}{144}\left(-20\right)\\-\frac{1}{16}\left(-5\right)+\frac{1}{16}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{145}{144}\\-\frac{15}{16}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 18x-14y=-5 तल्यान 18x+2y=-20 वजा करचो.

$$18x-18x-14y-2y=-5+20$$

-18x कडेन 18x ची बेरीज करची. अटी 18x आनी -18x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-14y-2y=-5+20$$

-2y कडेन -14y ची बेरीज करची.

$$-16y=-5+20$$

20 कडेन -5 ची बेरीज करची.

$$-16y=15$$

दोनुय कुशींक -16 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{15}{16}$$

18x+2y=-20 त y खातीर -\frac{15}{16} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$18x+2\left(-\frac{15}{16}\right)=-20$$

-\frac{15}{16}क 2 फावटी गुणचें.

$$18x-\frac{15}{8}=-20$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{15}{8} ची बेरीज करची.

$$18x=-\frac{145}{8}$$

दोनुय कुशींक 18 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{145}{144}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$