सोडोवचें {l}{11x+5y=7}{6x+3y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { 11 x + 5 y = 7 } \\ { 6 x + 3 y = 21 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-28$$

$$y=63$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$11x+5y=7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y वजा करचें.

$$11x=-5y+7$$

दोनुय कुशींक 11 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{11}\left(-5y+7\right)$$

-5y+7क \frac{1}{11} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}$$

6x+3y=21 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-5y+7}{11} बदलपी घेवचो.

$$6\left(-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}\right)+3y=21$$

\frac{-5y+7}{11}क 6 फावटी गुणचें.

$$-\frac{30}{11}y+\frac{42}{11}+3y=21$$

3y कडेन -\frac{30y}{11} ची बेरीज करची.

$$\frac{3}{11}y+\frac{42}{11}=21$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{42}{11} वजा करचें.

$$\frac{3}{11}y=\frac{189}{11}$$

\frac{3}{11} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=63$$

x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11} त y खातीर 63 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{5}{11}\times 63+\frac{7}{11}$$

63क -\frac{5}{11} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-315+7}{11}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{315}{11} क \frac{7}{11} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-28$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-28,y=63$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11\times 3-5\times 6}&-\frac{5}{11\times 3-5\times 6}\\-\frac{6}{11\times 3-5\times 6}&\frac{11}{11\times 3-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{3}\\-2&\frac{11}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7-\frac{5}{3}\times 21\\-2\times 7+\frac{11}{3}\times 21\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-28\\63\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-28,y=63$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

11x आनी 6x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 11 न गुणचें.

$$6\times 11x+6\times 5y=6\times 7,11\times 6x+11\times 3y=11\times 21$$

सोंपें करचें.

$$66x+30y=42,66x+33y=231$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 66x+30y=42 तल्यान 66x+33y=231 वजा करचो.

$$66x-66x+30y-33y=42-231$$

-66x कडेन 66x ची बेरीज करची. अटी 66x आनी -66x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$30y-33y=42-231$$

-33y कडेन 30y ची बेरीज करची.

$$-3y=42-231$$

-231 कडेन 42 ची बेरीज करची.

$$-3y=-189$$

दोनुय कुशींक -3 न भाग लावचो.

$$y=63$$

6x+3y=21 त y खातीर 63 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$6x+3\times 63=21$$

63क 3 फावटी गुणचें.

$$6x+189=21$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 189 वजा करचें.

$$6x=-168$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$x=-28$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-28,y=63$$