सोडोवचें {l}{11x+3y=14}{x+7y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 11 x + 3 y = 14 } \\ { x + 7 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=1$$

$$y=1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$11x+3y=14,x+7y=8$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$11x+3y=14$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$11x=-3y+14$$

दोनुय कुशींक 11 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{11}\left(-3y+14\right)$$

-3y+14क \frac{1}{11} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{11}y+\frac{14}{11}$$

x+7y=8 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-3y+14}{11} बदलपी घेवचो.

$$-\frac{3}{11}y+\frac{14}{11}+7y=8$$

7y कडेन -\frac{3y}{11} ची बेरीज करची.

$$\frac{74}{11}y+\frac{14}{11}=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{14}{11} वजा करचें.

$$\frac{74}{11}y=\frac{74}{11}$$

\frac{74}{11} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=1$$

x=-\frac{3}{11}y+\frac{14}{11} त y खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{-3+14}{11}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{3}{11} क \frac{14}{11} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$11x+3y=14,x+7y=8$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\8\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{11\times 7-3}&-\frac{3}{11\times 7-3}\\-\frac{1}{11\times 7-3}&\frac{11}{11\times 7-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{74}&-\frac{3}{74}\\-\frac{1}{74}&\frac{11}{74}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{74}\times 14-\frac{3}{74}\times 8\\-\frac{1}{74}\times 14+\frac{11}{74}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=1,y=1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$11x+3y=14,x+7y=8$$

11x आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 11 न गुणचें.

$$11x+3y=14,11x+11\times 7y=11\times 8$$

सोंपें करचें.

$$11x+3y=14,11x+77y=88$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 11x+3y=14 तल्यान 11x+77y=88 वजा करचो.

$$11x-11x+3y-77y=14-88$$

-11x कडेन 11x ची बेरीज करची. अटी 11x आनी -11x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$3y-77y=14-88$$

-77y कडेन 3y ची बेरीज करची.

$$-74y=14-88$$

-88 कडेन 14 ची बेरीज करची.

$$-74y=-74$$

दोनुय कुशींक -74 न भाग लावचो.

$$y=1$$

x+7y=8 त y खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x+7=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 7 वजा करचें.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=1$$