सोडोवचें {l}{1=2r-3s}{4=3r+2s}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 = 2 r - 3 s } \\ { 4 = 3 r + 2 s } \end{array} \right.$$

r, s खातीर सोडोवचें

$$r = \frac{14}{13} = 1\frac{1}{13} \approx 1.076923077$$

$$s=\frac{5}{13}\approx 0.384615385$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. कुशी हाणच्यो ताका लागून बरोबर चिन्नाच्या दाव्यान सगळी विशम संज्ञा येतली.

$$2r-3s=1$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. कुशी हाणच्यो ताका लागून बरोबर चिन्नाच्या दाव्यान सगळी विशम संज्ञा येतली.

$$3r+2s=4$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक r वेगळावन r खातीर तें सोडोवचें.

$$2r-3s=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3s ची बेरीज करची.

$$2r=3s+1$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$r=\frac{1}{2}\left(3s+1\right)$$

3s+1क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$r=\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}$$

3r+2s=4 ह्या दुस-या समिकरणांत r खातीर \frac{3s+1}{2} बदलपी घेवचो.

$$3\left(\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}\right)+2s=4$$

\frac{3s+1}{2}क 3 फावटी गुणचें.

$$\frac{9}{2}s+\frac{3}{2}+2s=4$$

2s कडेन \frac{9s}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{13}{2}s+\frac{3}{2}=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{3}{2} वजा करचें.

$$\frac{13}{2}s=\frac{5}{2}$$

\frac{13}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$s=\frac{5}{13}$$

r=\frac{3}{2}s+\frac{1}{2} त s खातीर \frac{5}{13} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी r खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$r=\frac{3}{2}\times \frac{5}{13}+\frac{1}{2}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{5}{13} क \frac{3}{2} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$r=\frac{15}{26}+\frac{1}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{15}{26} क \frac{1}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$r=\frac{14}{13}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. कुशी हाणच्यो ताका लागून बरोबर चिन्नाच्या दाव्यान सगळी विशम संज्ञा येतली.

$$2r-3s=1$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. कुशी हाणच्यो ताका लागून बरोबर चिन्नाच्या दाव्यान सगळी विशम संज्ञा येतली.

$$3r+2s=4$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}+\frac{3}{13}\times 4\\-\frac{3}{13}+\frac{2}{13}\times 4\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{13}\\\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां r आनी s काडचीं.

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. कुशी हाणच्यो ताका लागून बरोबर चिन्नाच्या दाव्यान सगळी विशम संज्ञा येतली.

$$2r-3s=1$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. कुशी हाणच्यो ताका लागून बरोबर चिन्नाच्या दाव्यान सगळी विशम संज्ञा येतली.

$$3r+2s=4$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

2r आनी 3r बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$3\times 2r+3\left(-3\right)s=3,2\times 3r+2\times 2s=2\times 4$$

सोंपें करचें.

$$6r-9s=3,6r+4s=8$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 6r-9s=3 तल्यान 6r+4s=8 वजा करचो.

$$6r-6r-9s-4s=3-8$$

-6r कडेन 6r ची बेरीज करची. अटी 6r आनी -6r रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-9s-4s=3-8$$

-4s कडेन -9s ची बेरीज करची.

$$-13s=3-8$$

-8 कडेन 3 ची बेरीज करची.

$$-13s=-5$$

दोनुय कुशींक -13 न भाग लावचो.

$$s=\frac{5}{13}$$

3r+2s=4 त s खातीर \frac{5}{13} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी r खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3r+2\times \frac{5}{13}=4$$

\frac{5}{13}क 2 फावटी गुणचें.

$$3r+\frac{10}{13}=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{10}{13} वजा करचें.

$$3r=\frac{42}{13}$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$r=\frac{14}{13}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$