सोडोवचें {l}{-9x-5y=25}{6x+7y=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - 5 y = 25 } \\ { 6 x + 7 y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-5$$

$$y=4$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-9x-5y=25,6x+7y=-2$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-9x-5y=25$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y ची बेरीज करची.

$$-9x=5y+25$$

दोनुय कुशींक -9 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{9}\left(5y+25\right)$$

25+5yक -\frac{1}{9} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{5}{9}y-\frac{25}{9}$$

6x+7y=-2 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-5y-25}{9} बदलपी घेवचो.

$$6\left(-\frac{5}{9}y-\frac{25}{9}\right)+7y=-2$$

\frac{-5y-25}{9}क 6 फावटी गुणचें.

$$-\frac{10}{3}y-\frac{50}{3}+7y=-2$$

7y कडेन -\frac{10y}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{11}{3}y-\frac{50}{3}=-2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{50}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{11}{3}y=\frac{44}{3}$$

\frac{11}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=4$$

x=-\frac{5}{9}y-\frac{25}{9} त y खातीर 4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{5}{9}\times 4-\frac{25}{9}$$

4क -\frac{5}{9} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-20-25}{9}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{20}{9} क -\frac{25}{9} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-5,y=4$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-9x-5y=25,6x+7y=-2$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-9&-5\\6&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-9&-5\\6&7\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-5\\6&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-5\\6&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-5\\6&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-5\\6&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-2\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-5\\6&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-9\times 7-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-9\times 7-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-9\times 7-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{9}{-9\times 7-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\-2\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{33}&-\frac{5}{33}\\\frac{2}{11}&\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{33}\times 25-\frac{5}{33}\left(-2\right)\\\frac{2}{11}\times 25+\frac{3}{11}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-5,y=4$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-9x-5y=25,6x+7y=-2$$

-9x आनी 6x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -9 न गुणचें.

$$6\left(-9\right)x+6\left(-5\right)y=6\times 25,-9\times 6x-9\times 7y=-9\left(-2\right)$$

सोंपें करचें.

$$-54x-30y=150,-54x-63y=18$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -54x-30y=150 तल्यान -54x-63y=18 वजा करचो.

$$-54x+54x-30y+63y=150-18$$

54x कडेन -54x ची बेरीज करची. अटी -54x आनी 54x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-30y+63y=150-18$$

63y कडेन -30y ची बेरीज करची.

$$33y=150-18$$

-18 कडेन 150 ची बेरीज करची.

$$33y=132$$

दोनुय कुशींक 33 न भाग लावचो.

$$y=4$$

6x+7y=-2 त y खातीर 4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$6x+7\times 4=-2$$

4क 7 फावटी गुणचें.

$$6x+28=-2$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 28 वजा करचें.

$$6x=-30$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$x=-5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-5,y=4$$