सोडोवचें {l}{-8x+4y=12}{8x-3y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 4 y = 12 } \\ { 8 x - 3 y = - 3 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=3$$

$$y=9$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-8x+4y=12,8x-3y=-3$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-8x+4y=12$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4y वजा करचें.

$$-8x=-4y+12$$

दोनुय कुशींक -8 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-4y+12\right)$$

-4y+12क -\frac{1}{8} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}$$

8x-3y=-3 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-3+y}{2} बदलपी घेवचो.

$$8\left(\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)-3y=-3$$

\frac{-3+y}{2}क 8 फावटी गुणचें.

$$4y-12-3y=-3$$

-3y कडेन 4y ची बेरीज करची.

$$y-12=-3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 12 ची बेरीज करची.

$$y=9$$

x=\frac{1}{2}y-\frac{3}{2} त y खातीर 9 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{1}{2}\times 9-\frac{3}{2}$$

9क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{9-3}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{9}{2} क -\frac{3}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=9$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-8x+4y=12,8x-3y=-3$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-8\left(-3\right)-4\times 8}&-\frac{4}{-8\left(-3\right)-4\times 8}\\-\frac{8}{-8\left(-3\right)-4\times 8}&-\frac{8}{-8\left(-3\right)-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 12+\frac{1}{2}\left(-3\right)\\12-3\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=3,y=9$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-8x+4y=12,8x-3y=-3$$

-8x आनी 8x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 8 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -8 न गुणचें.

$$8\left(-8\right)x+8\times 4y=8\times 12,-8\times 8x-8\left(-3\right)y=-8\left(-3\right)$$

सोंपें करचें.

$$-64x+32y=96,-64x+24y=24$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -64x+32y=96 तल्यान -64x+24y=24 वजा करचो.

$$-64x+64x+32y-24y=96-24$$

64x कडेन -64x ची बेरीज करची. अटी -64x आनी 64x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$32y-24y=96-24$$

-24y कडेन 32y ची बेरीज करची.

$$8y=96-24$$

-24 कडेन 96 ची बेरीज करची.

$$8y=72$$

दोनुय कुशींक 8 न भाग लावचो.

$$y=9$$

8x-3y=-3 त y खातीर 9 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$8x-3\times 9=-3$$

9क -3 फावटी गुणचें.

$$8x-27=-3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 27 ची बेरीज करची.

$$8x=24$$

दोनुय कुशींक 8 न भाग लावचो.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=9$$