सोडोवचें {l}{-6x+2y=6}{4x-4y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 6 x + 2 y = 6 } \\ { 4 x - 4 y = - 20 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=1$$

$$y=6$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-6x+2y=6,4x-4y=-20$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-6x+2y=6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$-6x=-2y+6$$

दोनुय कुशींक -6 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-2y+6\right)$$

-2y+6क -\frac{1}{6} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{1}{3}y-1$$

4x-4y=-20 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{y}{3}-1 बदलपी घेवचो.

$$4\left(\frac{1}{3}y-1\right)-4y=-20$$

\frac{y}{3}-1क 4 फावटी गुणचें.

$$\frac{4}{3}y-4-4y=-20$$

-4y कडेन \frac{4y}{3} ची बेरीज करची.

$$-\frac{8}{3}y-4=-20$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4 ची बेरीज करची.

$$-\frac{8}{3}y=-16$$

-\frac{8}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=6$$

x=\frac{1}{3}y-1 त y खातीर 6 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{1}{3}\times 6-1$$

6क \frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=2-1$$

2 कडेन -1 ची बेरीज करची.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=6$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-6x+2y=6,4x-4y=-20$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-6&2\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-6&2\\4&-4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&2\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-6\left(-4\right)-2\times 4}&-\frac{2}{-6\left(-4\right)-2\times 4}\\-\frac{4}{-6\left(-4\right)-2\times 4}&-\frac{6}{-6\left(-4\right)-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{4}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 6-\frac{1}{8}\left(-20\right)\\-\frac{1}{4}\times 6-\frac{3}{8}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=1,y=6$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-6x+2y=6,4x-4y=-20$$

-6x आनी 4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -6 न गुणचें.

$$4\left(-6\right)x+4\times 2y=4\times 6,-6\times 4x-6\left(-4\right)y=-6\left(-20\right)$$

सोंपें करचें.

$$-24x+8y=24,-24x+24y=120$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -24x+8y=24 तल्यान -24x+24y=120 वजा करचो.

$$-24x+24x+8y-24y=24-120$$

24x कडेन -24x ची बेरीज करची. अटी -24x आनी 24x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$8y-24y=24-120$$

-24y कडेन 8y ची बेरीज करची.

$$-16y=24-120$$

-120 कडेन 24 ची बेरीज करची.

$$-16y=-96$$

दोनुय कुशींक -16 न भाग लावचो.

$$y=6$$

4x-4y=-20 त y खातीर 6 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$4x-4\times 6=-20$$

6क -4 फावटी गुणचें.

$$4x-24=-20$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 24 ची बेरीज करची.

$$4x=4$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=6$$